Leysa {l}{2y-3x=-27}{5y+3x=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 y - 3 x = - 27 } \\ { 5 y + 3 x = 6 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x=7$$

$$y=-3$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2y-3x=-27,5y+3x=6$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$2y-3x=-27$$

Leggðu 3x saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2y=3x-27$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-27\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -27+3x.

$$y=\frac{3}{2}x-\frac{27}{2}$$

Settu \frac{-27+3x}{2} inn fyrir y í hinni jöfnunni, 5y+3x=6.

$$5\left(\frac{3}{2}x-\frac{27}{2}\right)+3x=6$$

Margfaldaðu 5 sinnum \frac{-27+3x}{2}.

$$\frac{15}{2}x-\frac{135}{2}+3x=6$$

Leggðu \frac{15x}{2} saman við 3x.

$$\frac{21}{2}x-\frac{135}{2}=6$$

Leggðu \frac{135}{2} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{21}{2}x=\frac{147}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{21}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=7$$

Skiptu 7 út fyrir x í y=\frac{3}{2}x-\frac{27}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=\frac{3}{2}\times 7-\frac{27}{2}$$

Margfaldaðu \frac{3}{2} sinnum 7.

$$y=\frac{21-27}{2}$$

Leggðu -\frac{27}{2} saman við \frac{21}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$y=-3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-3,x=7$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2y-3x=-27,5y+3x=6$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{5}{21}&\frac{2}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-27\right)+\frac{1}{7}\times 6\\-\frac{5}{21}\left(-27\right)+\frac{2}{21}\times 6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=-3,x=7$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2y-3x=-27,5y+3x=6$$

Til að gera 2y og 5y jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$5\times 2y+5\left(-3\right)x=5\left(-27\right),2\times 5y+2\times 3x=2\times 6$$

Einfaldaðu.

$$10y-15x=-135,10y+6x=12$$

Dragðu 10y+6x=12 frá 10y-15x=-135 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$10y-10y-15x-6x=-135-12$$

Leggðu 10y saman við -10y. Liðirnir 10y og -10y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-15x-6x=-135-12$$

Leggðu -15x saman við -6x.

$$-21x=-135-12$$

Leggðu -135 saman við -12.

$$-21x=-147$$

Deildu báðum hliðum með -21.

$$x=7$$

Skiptu 7 út fyrir x í 5y+3x=6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$5y+3\times 7=6$$

Margfaldaðu 3 sinnum 7.

$$5y+21=6$$

Dragðu 21 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5y=-15$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$y=-3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-3,x=7$$