Leysa {l}{2y-2x=-40}{3x+2y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 y - 2 x = - 40 } \\ { 3 x + 2 y = 10 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x=10$$

$$y=-10$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2y-2x=-40,2y+3x=10$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$2y-2x=-40$$

Leggðu 2x saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2y=2x-40$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$y=\frac{1}{2}\left(2x-40\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -40+2x.

$$y=x-20$$

Settu x-20 inn fyrir y í hinni jöfnunni, 2y+3x=10.

$$2\left(x-20\right)+3x=10$$

Margfaldaðu 2 sinnum x-20.

$$2x-40+3x=10$$

Leggðu 2x saman við 3x.

$$5x-40=10$$

Leggðu 40 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=50$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=10$$

Skiptu 10 út fyrir x í y=x-20. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=10-20$$

Leggðu -20 saman við 10.

$$y=-10$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-10,x=10$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2y-2x=-40,2y+3x=10$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-40\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-2\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-40\\10\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-40\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-40\\10\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{2\times 3-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{2\times 3-\left(-2\times 2\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-40\\10\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-40\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\left(-40\right)+\frac{1}{5}\times 10\\-\frac{1}{5}\left(-40\right)+\frac{1}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=-10,x=10$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2y-2x=-40,2y+3x=10$$

Dragðu 2y+3x=10 frá 2y-2x=-40 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2y-2y-2x-3x=-40-10$$

Leggðu 2y saman við -2y. Liðirnir 2y og -2y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-2x-3x=-40-10$$

Leggðu -2x saman við -3x.

$$-5x=-40-10$$

Leggðu -40 saman við -10.

$$-5x=-50$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$x=10$$

Skiptu 10 út fyrir x í 2y+3x=10. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$2y+3\times 10=10$$

Margfaldaðu 3 sinnum 10.

$$2y+30=10$$

Dragðu 30 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2y=-20$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$y=-10$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-10,x=10$$