Leysa {l}{2y=3x-4}{2y=x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 y = 3 x - 4 } \\ { 2 y = x + 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$y = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4} = 1.75$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 3x frá báðum hliðum.

$$2y-3x=-4$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$2y-x=1$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2y-3x=-4,2y-x=1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$2y-3x=-4$$

Leggðu 3x saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2y=3x-4$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-4\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum 3x-4.

$$y=\frac{3}{2}x-2$$

Settu \frac{3x}{2}-2 inn fyrir y í hinni jöfnunni, 2y-x=1.

$$2\left(\frac{3}{2}x-2\right)-x=1$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{3x}{2}-2.

$$3x-4-x=1$$

Leggðu 3x saman við -x.

$$2x-4=1$$

Leggðu 4 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=5$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{5}{2}$$

Skiptu \frac{5}{2} út fyrir x í y=\frac{3}{2}x-2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=\frac{3}{2}\times \frac{5}{2}-2$$

Margfaldaðu \frac{3}{2} sinnum \frac{5}{2} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$y=\frac{15}{4}-2$$

Leggðu -2 saman við \frac{15}{4}.

$$y=\frac{7}{4}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=\frac{7}{4},x=\frac{5}{2}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 3x frá báðum hliðum.

$$2y-3x=-4$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$2y-x=1$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2y-3x=-4,2y-x=1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 2\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-4\right)+\frac{3}{4}\\-\frac{1}{2}\left(-4\right)+\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{4}\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=\frac{7}{4},x=\frac{5}{2}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 3x frá báðum hliðum.

$$2y-3x=-4$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$2y-x=1$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2y-3x=-4,2y-x=1$$

Dragðu 2y-x=1 frá 2y-3x=-4 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2y-2y-3x+x=-4-1$$

Leggðu 2y saman við -2y. Liðirnir 2y og -2y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-3x+x=-4-1$$

Leggðu -3x saman við x.

$$-2x=-4-1$$

Leggðu -4 saman við -1.

$$-2x=-5$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$x=\frac{5}{2}$$

Skiptu \frac{5}{2} út fyrir x í 2y-x=1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$2y-\frac{5}{2}=1$$

Leggðu \frac{5}{2} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2y=\frac{7}{2}$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$y=\frac{7}{4}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=\frac{7}{4},x=\frac{5}{2}$$