Leysa {l}{2y=3x}{3x+6y=72}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 y = 3 x } \\ { 3 x + 6 y = 72 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x=6$$

$$y=9$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 3x frá báðum hliðum.

$$2y-3x=0$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2y-3x=0,6y+3x=72$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$2y-3x=0$$

Leggðu 3x saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2y=3x$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$y=\frac{1}{2}\times 3x$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum 3x.

$$y=\frac{3}{2}x$$

Settu \frac{3x}{2} inn fyrir y í hinni jöfnunni, 6y+3x=72.

$$6\times \frac{3}{2}x+3x=72$$

Margfaldaðu 6 sinnum \frac{3x}{2}.

$$9x+3x=72$$

Leggðu 9x saman við 3x.

$$12x=72$$

Deildu báðum hliðum með 12.

$$x=6$$

Skiptu 6 út fyrir x í y=\frac{3}{2}x. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=\frac{3}{2}\times 6$$

Margfaldaðu \frac{3}{2} sinnum 6.

$$y=9$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=9,x=6$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 3x frá báðum hliðum.

$$2y-3x=0$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2y-3x=0,6y+3x=72$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\72\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-3\\6&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\72\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\72\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\72\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-3\times 6\right)}&-\frac{-3}{2\times 3-\left(-3\times 6\right)}\\-\frac{6}{2\times 3-\left(-3\times 6\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\72\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\72\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 72\\\frac{1}{12}\times 72\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\6\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=9,x=6$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 3x frá báðum hliðum.

$$2y-3x=0$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2y-3x=0,6y+3x=72$$

Til að gera 2y og 6y jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 6 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$6\times 2y+6\left(-3\right)x=0,2\times 6y+2\times 3x=2\times 72$$

Einfaldaðu.

$$12y-18x=0,12y+6x=144$$

Dragðu 12y+6x=144 frá 12y-18x=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$12y-12y-18x-6x=-144$$

Leggðu 12y saman við -12y. Liðirnir 12y og -12y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-18x-6x=-144$$

Leggðu -18x saman við -6x.

$$-24x=-144$$

Deildu báðum hliðum með -24.

$$x=6$$

Skiptu 6 út fyrir x í 6y+3x=72. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$6y+3\times 6=72$$

Margfaldaðu 3 sinnum 6.

$$6y+18=72$$

Dragðu 18 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$6y=54$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$y=9$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=9,x=6$$