Leysa {l}{2x_{1}+3x_{2}=7}{4x_{1}-4x_{2}=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } = 7 } \\ { 4 x _ { 1 } - 4 x _ { 2 } = - 6 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x_1, x_2

$$x_{1}=\frac{1}{2}=0.5$$

$$x_{2}=2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x_{1} með því að einangra x_{1} vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x_{1}+3x_{2}=7$$

Dragðu 3x_{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x_{1}=-3x_{2}+7$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x_{1}=\frac{1}{2}\left(-3x_{2}+7\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -3x_{2}+7.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}$$

Settu \frac{-3x_{2}+7}{2} inn fyrir x_{1} í hinni jöfnunni, 4x_{1}-4x_{2}=-6.

$$4\left(-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}\right)-4x_{2}=-6$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{-3x_{2}+7}{2}.

$$-6x_{2}+14-4x_{2}=-6$$

Leggðu -6x_{2} saman við -4x_{2}.

$$-10x_{2}+14=-6$$

Dragðu 14 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-10x_{2}=-20$$

Deildu báðum hliðum með -10.

$$x_{2}=2$$

Skiptu 2 út fyrir x_{2} í x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x_{1} strax.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}\times 2+\frac{7}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{3}{2} sinnum 2.

$$x_{1}=-3+\frac{7}{2}$$

Leggðu \frac{7}{2} saman við -3.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{20}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 7+\frac{3}{20}\left(-6\right)\\\frac{1}{5}\times 7-\frac{1}{10}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x_{1} og x_{2}.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Til að gera 2x_{1} og 4x_{1} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$4\times 2x_{1}+4\times 3x_{2}=4\times 7,2\times 4x_{1}+2\left(-4\right)x_{2}=2\left(-6\right)$$

Einfaldaðu.

$$8x_{1}+12x_{2}=28,8x_{1}-8x_{2}=-12$$

Dragðu 8x_{1}-8x_{2}=-12 frá 8x_{1}+12x_{2}=28 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$8x_{1}-8x_{1}+12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

Leggðu 8x_{1} saman við -8x_{1}. Liðirnir 8x_{1} og -8x_{1} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

Leggðu 12x_{2} saman við 8x_{2}.

$$20x_{2}=28+12$$

Leggðu 28 saman við 12.

$$20x_{2}=40$$

Deildu báðum hliðum með 20.

$$x_{2}=2$$

Skiptu 2 út fyrir x_{2} í 4x_{1}-4x_{2}=-6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x_{1} strax.

$$4x_{1}-4\times 2=-6$$

Margfaldaðu -4 sinnum 2.

$$4x_{1}-8=-6$$

Leggðu 8 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x_{1}=2$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$