Leysa {l}{2x-y=6}{4x+3y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = 6 } \\ { 4 x + 3 y = - 3 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=-3$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x-y=6,4x+3y=-3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x-y=6$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=y+6$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+6\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum y+6.

$$x=\frac{1}{2}y+3$$

Settu \frac{y}{2}+3 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x+3y=-3.

$$4\left(\frac{1}{2}y+3\right)+3y=-3$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{y}{2}+3.

$$2y+12+3y=-3$$

Leggðu 2y saman við 3y.

$$5y+12=-3$$

Dragðu 12 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5y=-15$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$y=-3$$

Skiptu -3 út fyrir y í x=\frac{1}{2}y+3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3\right)+3$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -3.

$$x=-\frac{3}{2}+3$$

Leggðu 3 saman við -\frac{3}{2}.

$$x=\frac{3}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{3}{2},y=-3$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x-y=6,4x+3y=-3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{2\times 3-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{2\times 3-\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 6+\frac{1}{10}\left(-3\right)\\-\frac{2}{5}\times 6+\frac{1}{5}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\-3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{3}{2},y=-3$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x-y=6,4x+3y=-3$$

Til að gera 2x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$4\times 2x+4\left(-1\right)y=4\times 6,2\times 4x+2\times 3y=2\left(-3\right)$$

Einfaldaðu.

$$8x-4y=24,8x+6y=-6$$

Dragðu 8x+6y=-6 frá 8x-4y=24 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$8x-8x-4y-6y=24+6$$

Leggðu 8x saman við -8x. Liðirnir 8x og -8x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-4y-6y=24+6$$

Leggðu -4y saman við -6y.

$$-10y=24+6$$

Leggðu 24 saman við 6.

$$-10y=30$$

Deildu báðum hliðum með -10.

$$y=-3$$

Skiptu -3 út fyrir y í 4x+3y=-3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x+3\left(-3\right)=-3$$

Margfaldaðu 3 sinnum -3.

$$4x-9=-3$$

Leggðu 9 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x=6$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{3}{2},y=-3$$