Leysa {l}{2x-y=6}{3x-2y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = 6 } \\ { 3 x - 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=8$$

$$y=10$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x-y=6,3x-2y=4$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x-y=6$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=y+6$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+6\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum y+6.

$$x=\frac{1}{2}y+3$$

Settu \frac{y}{2}+3 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x-2y=4.

$$3\left(\frac{1}{2}y+3\right)-2y=4$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{y}{2}+3.

$$\frac{3}{2}y+9-2y=4$$

Leggðu \frac{3y}{2} saman við -2y.

$$-\frac{1}{2}y+9=4$$

Dragðu 9 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{1}{2}y=-5$$

Margfaldaðu báðar hliðar með -2.

$$y=10$$

Skiptu 10 út fyrir y í x=\frac{1}{2}y+3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{2}\times 10+3$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum 10.

$$x=5+3$$

Leggðu 3 saman við 5.

$$x=8$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=8,y=10$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x-y=6,3x-2y=4$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 6-4\\3\times 6-2\times 4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=8,y=10$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x-y=6,3x-2y=4$$

Til að gera 2x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 6,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 4$$

Einfaldaðu.

$$6x-3y=18,6x-4y=8$$

Dragðu 6x-4y=8 frá 6x-3y=18 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x-3y+4y=18-8$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-3y+4y=18-8$$

Leggðu -3y saman við 4y.

$$y=18-8$$

Leggðu 18 saman við -8.

$$y=10$$

Skiptu 10 út fyrir y í 3x-2y=4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x-2\times 10=4$$

Margfaldaðu -2 sinnum 10.

$$3x-20=4$$

Leggðu 20 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=24$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=8$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=8,y=10$$