Leysa {l}{2x-y=13}{-4x-6y=-18}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = 13 } \\ { - 4 x - 6 y = - 18 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=6$$

$$y=-1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x-y=13,-4x-6y=-18$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x-y=13$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=y+13$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+13\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum y+13.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}$$

Settu \frac{13+y}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -4x-6y=-18.

$$-4\left(\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}\right)-6y=-18$$

Margfaldaðu -4 sinnum \frac{13+y}{2}.

$$-2y-26-6y=-18$$

Leggðu -2y saman við -6y.

$$-8y-26=-18$$

Leggðu 26 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-8y=8$$

Deildu báðum hliðum með -8.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í x=\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{13}{2}$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -1.

$$x=\frac{-1+13}{2}$$

Leggðu \frac{13}{2} saman við -\frac{1}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=6,y=-1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x-y=13,-4x-6y=-18$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-1\\-4&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-18\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-18\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{2\left(-6\right)-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{2\left(-6\right)-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{2\left(-6\right)-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{2}{2\left(-6\right)-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-18\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&-\frac{1}{16}\\-\frac{1}{4}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 13-\frac{1}{16}\left(-18\right)\\-\frac{1}{4}\times 13-\frac{1}{8}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=6,y=-1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x-y=13,-4x-6y=-18$$

Til að gera 2x og -4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$-4\times 2x-4\left(-1\right)y=-4\times 13,2\left(-4\right)x+2\left(-6\right)y=2\left(-18\right)$$

Einfaldaðu.

$$-8x+4y=-52,-8x-12y=-36$$

Dragðu -8x-12y=-36 frá -8x+4y=-52 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-8x+8x+4y+12y=-52+36$$

Leggðu -8x saman við 8x. Liðirnir -8x og 8x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$4y+12y=-52+36$$

Leggðu 4y saman við 12y.

$$16y=-52+36$$

Leggðu -52 saman við 36.

$$16y=-16$$

Deildu báðum hliðum með 16.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í -4x-6y=-18. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-4x-6\left(-1\right)=-18$$

Margfaldaðu -6 sinnum -1.

$$-4x+6=-18$$

Dragðu 6 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-4x=-24$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$x=6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=6,y=-1$$