Leysa {l}{2x-y=13}{-2x-5y=17}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = 13 } \\ { - 2 x - 5 y = 17 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=4$$

$$y=-5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x-y=13,-2x-5y=17$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x-y=13$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=y+13$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+13\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum y+13.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}$$

Settu \frac{13+y}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -2x-5y=17.

$$-2\left(\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}\right)-5y=17$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{13+y}{2}.

$$-y-13-5y=17$$

Leggðu -y saman við -5y.

$$-6y-13=17$$

Leggðu 13 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-6y=30$$

Deildu báðum hliðum með -6.

$$y=-5$$

Skiptu -5 út fyrir y í x=\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5\right)+\frac{13}{2}$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -5.

$$x=\frac{-5+13}{2}$$

Leggðu \frac{13}{2} saman við -\frac{5}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=-5$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x-y=13,-2x-5y=17$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\17\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-1\\-2&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\17\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\17\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\17\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{2\left(-5\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{2\left(-5\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{2}{2\left(-5\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\17\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{1}{12}\\-\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\17\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}\times 13-\frac{1}{12}\times 17\\-\frac{1}{6}\times 13-\frac{1}{6}\times 17\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-5\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=4,y=-5$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x-y=13,-2x-5y=17$$

Til að gera 2x og -2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$-2\times 2x-2\left(-1\right)y=-2\times 13,2\left(-2\right)x+2\left(-5\right)y=2\times 17$$

Einfaldaðu.

$$-4x+2y=-26,-4x-10y=34$$

Dragðu -4x-10y=34 frá -4x+2y=-26 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-4x+4x+2y+10y=-26-34$$

Leggðu -4x saman við 4x. Liðirnir -4x og 4x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2y+10y=-26-34$$

Leggðu 2y saman við 10y.

$$12y=-26-34$$

Leggðu -26 saman við -34.

$$12y=-60$$

Deildu báðum hliðum með 12.

$$y=-5$$

Skiptu -5 út fyrir y í -2x-5y=17. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-2x-5\left(-5\right)=17$$

Margfaldaðu -5 sinnum -5.

$$-2x+25=17$$

Dragðu 25 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-2x=-8$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=-5$$