Leysa {l}{2x-y=1}{x+y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = 1 } \\ { x + y = 4 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x-y=1,x+y=4$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x-y=1$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=y+1$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+1\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum y+1.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Settu \frac{1+y}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+y=4.

$$\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}+y=4$$

Leggðu \frac{y}{2} saman við y.

$$\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}=4$$

Dragðu \frac{1}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{3}{2}y=\frac{7}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{3}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{7}{3}$$

Skiptu \frac{7}{3} út fyrir y í x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{2}\times \frac{7}{3}+\frac{1}{2}$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum \frac{7}{3} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{7}{6}+\frac{1}{2}$$

Leggðu \frac{1}{2} saman við \frac{7}{6} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{5}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{7}{3}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x-y=1,x+y=4$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-1\right)}&\frac{2}{2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times 4\\-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\\frac{7}{3}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{7}{3}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x-y=1,x+y=4$$

Til að gera 2x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$2x-y=1,2x+2y=2\times 4$$

Einfaldaðu.

$$2x-y=1,2x+2y=8$$

Dragðu 2x+2y=8 frá 2x-y=1 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-2x-y-2y=1-8$$

Leggðu 2x saman við -2x. Liðirnir 2x og -2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-y-2y=1-8$$

Leggðu -y saman við -2y.

$$-3y=1-8$$

Leggðu 1 saman við -8.

$$-3y=-7$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$y=\frac{7}{3}$$

Skiptu \frac{7}{3} út fyrir y í x+y=4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+\frac{7}{3}=4$$

Dragðu \frac{7}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=\frac{5}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{7}{3}$$