Leysa {l}{2x-y=0}{5x-2y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = 0 } \\ { 5 x - 2 y = 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x-y=0,5x-2y=1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x-y=0$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=y$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}y$$

Settu \frac{y}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 5x-2y=1.

$$5\times \frac{1}{2}y-2y=1$$

Margfaldaðu 5 sinnum \frac{y}{2}.

$$\frac{5}{2}y-2y=1$$

Leggðu \frac{5y}{2} saman við -2y.

$$\frac{1}{2}y=1$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 2.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í x=\frac{1}{2}y. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{2}\times 2$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum 2.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x-y=0,5x-2y=1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-1\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{2\left(-2\right)-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-2\right)-\left(-5\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&1\\-5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=1,y=2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x-y=0,5x-2y=1$$

Til að gera 2x og 5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$5\times 2x+5\left(-1\right)y=0,2\times 5x+2\left(-2\right)y=2$$

Einfaldaðu.

$$10x-5y=0,10x-4y=2$$

Dragðu 10x-4y=2 frá 10x-5y=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$10x-10x-5y+4y=-2$$

Leggðu 10x saman við -10x. Liðirnir 10x og -10x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-5y+4y=-2$$

Leggðu -5y saman við 4y.

$$-y=-2$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í 5x-2y=1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$5x-2\times 2=1$$

Margfaldaðu -2 sinnum 2.

$$5x-4=1$$

Leggðu 4 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=5$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=2$$