Leysa {l}{2x-y=-2}{y=5x-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = - 2 } \\ { y = 5 x - 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=1$$

$$y=4$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 5x frá báðum hliðum.

$$y-5x=-1$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x-y=-2,-5x+y=-1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x-y=-2$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=y-2$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y-2\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum y-2.

$$x=\frac{1}{2}y-1$$

Settu \frac{y}{2}-1 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -5x+y=-1.

$$-5\left(\frac{1}{2}y-1\right)+y=-1$$

Margfaldaðu -5 sinnum \frac{y}{2}-1.

$$-\frac{5}{2}y+5+y=-1$$

Leggðu -\frac{5y}{2} saman við y.

$$-\frac{3}{2}y+5=-1$$

Dragðu 5 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{3}{2}y=-6$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{3}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=4$$

Skiptu 4 út fyrir y í x=\frac{1}{2}y-1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{2}\times 4-1$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum 4.

$$x=2-1$$

Leggðu -1 saman við 2.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=4$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 5x frá báðum hliðum.

$$y-5x=-1$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x-y=-2,-5x+y=-1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-\left(-5\right)\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{2-\left(-\left(-5\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{5}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-2\right)-\frac{1}{3}\left(-1\right)\\-\frac{5}{3}\left(-2\right)-\frac{2}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=1,y=4$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 5x frá báðum hliðum.

$$y-5x=-1$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x-y=-2,-5x+y=-1$$

Til að gera 2x og -5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$-5\times 2x-5\left(-1\right)y=-5\left(-2\right),2\left(-5\right)x+2y=2\left(-1\right)$$

Einfaldaðu.

$$-10x+5y=10,-10x+2y=-2$$

Dragðu -10x+2y=-2 frá -10x+5y=10 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-10x+10x+5y-2y=10+2$$

Leggðu -10x saman við 10x. Liðirnir -10x og 10x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$5y-2y=10+2$$

Leggðu 5y saman við -2y.

$$3y=10+2$$

Leggðu 10 saman við 2.

$$3y=12$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$y=4$$

Skiptu 4 út fyrir y í -5x+y=-1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-5x+4=-1$$

Dragðu 4 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-5x=-5$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=4$$