Leysa {l}{2x-y=-10}{5x+2y=43}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = - 10 } \\ { 5 x + 2 y = 43 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{23}{9} = 2\frac{5}{9} \approx 2.555555556$$

$$y = \frac{136}{9} = 15\frac{1}{9} \approx 15.111111111$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x-y=-10,5x+2y=43$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x-y=-10$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=y-10$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y-10\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum y-10.

$$x=\frac{1}{2}y-5$$

Settu \frac{y}{2}-5 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 5x+2y=43.

$$5\left(\frac{1}{2}y-5\right)+2y=43$$

Margfaldaðu 5 sinnum \frac{y}{2}-5.

$$\frac{5}{2}y-25+2y=43$$

Leggðu \frac{5y}{2} saman við 2y.

$$\frac{9}{2}y-25=43$$

Leggðu 25 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{9}{2}y=68$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{9}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{136}{9}$$

Skiptu \frac{136}{9} út fyrir y í x=\frac{1}{2}y-5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{2}\times \frac{136}{9}-5$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum \frac{136}{9} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{68}{9}-5$$

Leggðu -5 saman við \frac{68}{9}.

$$x=\frac{23}{9}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{23}{9},y=\frac{136}{9}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x-y=-10,5x+2y=43$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\43\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-1\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\43\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\43\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\43\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{2\times 2-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{2\times 2-\left(-5\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\43\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\-\frac{5}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\43\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\left(-10\right)+\frac{1}{9}\times 43\\-\frac{5}{9}\left(-10\right)+\frac{2}{9}\times 43\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23}{9}\\\frac{136}{9}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{23}{9},y=\frac{136}{9}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x-y=-10,5x+2y=43$$

Til að gera 2x og 5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$5\times 2x+5\left(-1\right)y=5\left(-10\right),2\times 5x+2\times 2y=2\times 43$$

Einfaldaðu.

$$10x-5y=-50,10x+4y=86$$

Dragðu 10x+4y=86 frá 10x-5y=-50 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$10x-10x-5y-4y=-50-86$$

Leggðu 10x saman við -10x. Liðirnir 10x og -10x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-5y-4y=-50-86$$

Leggðu -5y saman við -4y.

$$-9y=-50-86$$

Leggðu -50 saman við -86.

$$-9y=-136$$

Deildu báðum hliðum með -9.

$$y=\frac{136}{9}$$

Skiptu \frac{136}{9} út fyrir y í 5x+2y=43. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$5x+2\times \frac{136}{9}=43$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{136}{9}.

$$5x+\frac{272}{9}=43$$

Dragðu \frac{272}{9} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=\frac{115}{9}$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{23}{9}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{23}{9},y=\frac{136}{9}$$