Leysa {l}{2x-96=4y-x}{3y+10x=y+90}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 96 = 4 y - x } \\ { 3 y + 10 x = y + 90 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=12$$

$$y=-15$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 4y frá báðum hliðum.

$$2x-96-4y=-x$$

Bættu x við báðar hliðar.

$$2x-96-4y+x=0$$

Sameinaðu 2x og x til að fá 3x.

$$3x-96-4y=0$$

Bættu 96 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$3x-4y=96$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$3y+10x-y=90$$

Sameinaðu 3y og -y til að fá 2y.

$$2y+10x=90$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x-4y=96,10x+2y=90$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x-4y=96$$

Leggðu 4y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=4y+96$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(4y+96\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum 96+4y.

$$x=\frac{4}{3}y+32$$

Settu 32+\frac{4y}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 10x+2y=90.

$$10\left(\frac{4}{3}y+32\right)+2y=90$$

Margfaldaðu 10 sinnum 32+\frac{4y}{3}.

$$\frac{40}{3}y+320+2y=90$$

Leggðu \frac{40y}{3} saman við 2y.

$$\frac{46}{3}y+320=90$$

Dragðu 320 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{46}{3}y=-230$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{46}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-15$$

Skiptu -15 út fyrir y í x=\frac{4}{3}y+32. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{4}{3}\left(-15\right)+32$$

Margfaldaðu \frac{4}{3} sinnum -15.

$$x=-20+32$$

Leggðu 32 saman við -20.

$$x=12$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=12,y=-15$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 4y frá báðum hliðum.

$$2x-96-4y=-x$$

Bættu x við báðar hliðar.

$$2x-96-4y+x=0$$

Sameinaðu 2x og x til að fá 3x.

$$3x-96-4y=0$$

Bættu 96 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$3x-4y=96$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$3y+10x-y=90$$

Sameinaðu 3y og -y til að fá 2y.

$$2y+10x=90$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x-4y=96,10x+2y=90$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\10&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}96\\90\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-4\\10&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\10&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\10&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\10&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}96\\90\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\10&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}96\\90\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\10&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}96\\90\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-4\times 10\right)}&-\frac{-4}{3\times 2-\left(-4\times 10\right)}\\-\frac{10}{3\times 2-\left(-4\times 10\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-4\times 10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}96\\90\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23}&\frac{2}{23}\\-\frac{5}{23}&\frac{3}{46}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}96\\90\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23}\times 96+\frac{2}{23}\times 90\\-\frac{5}{23}\times 96+\frac{3}{46}\times 90\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-15\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=12,y=-15$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 4y frá báðum hliðum.

$$2x-96-4y=-x$$

Bættu x við báðar hliðar.

$$2x-96-4y+x=0$$

Sameinaðu 2x og x til að fá 3x.

$$3x-96-4y=0$$

Bættu 96 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$3x-4y=96$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$3y+10x-y=90$$

Sameinaðu 3y og -y til að fá 2y.

$$2y+10x=90$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x-4y=96,10x+2y=90$$

Til að gera 3x og 10x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 10 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$10\times 3x+10\left(-4\right)y=10\times 96,3\times 10x+3\times 2y=3\times 90$$

Einfaldaðu.

$$30x-40y=960,30x+6y=270$$

Dragðu 30x+6y=270 frá 30x-40y=960 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$30x-30x-40y-6y=960-270$$

Leggðu 30x saman við -30x. Liðirnir 30x og -30x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-40y-6y=960-270$$

Leggðu -40y saman við -6y.

$$-46y=960-270$$

Leggðu 960 saman við -270.

$$-46y=690$$

Deildu báðum hliðum með -46.

$$y=-15$$

Skiptu -15 út fyrir y í 10x+2y=90. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$10x+2\left(-15\right)=90$$

Margfaldaðu 2 sinnum -15.

$$10x-30=90$$

Leggðu 30 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$10x=120$$

Deildu báðum hliðum með 10.

$$x=12$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=12,y=-15$$