Leysa {l}{2x-6y=16}{-x+2y=-4}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 6 y = 16 } \\ { - x + 2 y = - 4 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-4$$

$$y=-4$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x-6y=16,-x+2y=-4$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x-6y=16$$

Leggðu 6y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=6y+16$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(6y+16\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum 6y+16.

$$x=3y+8$$

Settu 3y+8 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -x+2y=-4.

$$-\left(3y+8\right)+2y=-4$$

Margfaldaðu -1 sinnum 3y+8.

$$-3y-8+2y=-4$$

Leggðu -3y saman við 2y.

$$-y-8=-4$$

Leggðu 8 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-y=4$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$y=-4$$

Skiptu -4 út fyrir y í x=3y+8. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=3\left(-4\right)+8$$

Margfaldaðu 3 sinnum -4.

$$x=-12+8$$

Leggðu 8 saman við -12.

$$x=-4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-4,y=-4$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x-6y=16,-x+2y=-4$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-6\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\-4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-6\\-1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-6\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-4\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-4\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-6\left(-1\right)\right)}&-\frac{-6}{2\times 2-\left(-6\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\times 2-\left(-6\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-6\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-3\\-\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16-3\left(-4\right)\\-\frac{1}{2}\times 16-\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-4,y=-4$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x-6y=16,-x+2y=-4$$

Til að gera 2x og -x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$-2x-\left(-6y\right)=-16,2\left(-1\right)x+2\times 2y=2\left(-4\right)$$

Einfaldaðu.

$$-2x+6y=-16,-2x+4y=-8$$

Dragðu -2x+4y=-8 frá -2x+6y=-16 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-2x+2x+6y-4y=-16+8$$

Leggðu -2x saman við 2x. Liðirnir -2x og 2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$6y-4y=-16+8$$

Leggðu 6y saman við -4y.

$$2y=-16+8$$

Leggðu -16 saman við 8.

$$2y=-8$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$y=-4$$

Skiptu -4 út fyrir y í -x+2y=-4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-x+2\left(-4\right)=-4$$

Margfaldaðu 2 sinnum -4.

$$-x-8=-4$$

Leggðu 8 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-x=4$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=-4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-4,y=-4$$