Leysa {l}{2x-5y=4}{3x+2y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 4 } \\ { 3 x + 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{33}{19} = 1\frac{14}{19} \approx 1.736842105$$

$$y=-\frac{2}{19}\approx -0.105263158$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x-5y=4,3x+2y=5$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x-5y=4$$

Leggðu 5y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=5y+4$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+4\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum 5y+4.

$$x=\frac{5}{2}y+2$$

Settu \frac{5y}{2}+2 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+2y=5.

$$3\left(\frac{5}{2}y+2\right)+2y=5$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{5y}{2}+2.

$$\frac{15}{2}y+6+2y=5$$

Leggðu \frac{15y}{2} saman við 2y.

$$\frac{19}{2}y+6=5$$

Dragðu 6 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{19}{2}y=-1$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{19}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{2}{19}$$

Skiptu -\frac{2}{19} út fyrir y í x=\frac{5}{2}y+2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{5}{2}\left(-\frac{2}{19}\right)+2$$

Margfaldaðu \frac{5}{2} sinnum -\frac{2}{19} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{5}{19}+2$$

Leggðu 2 saman við -\frac{5}{19}.

$$x=\frac{33}{19}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{33}{19},y=-\frac{2}{19}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x-5y=4,3x+2y=5$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 4+\frac{5}{19}\times 5\\-\frac{3}{19}\times 4+\frac{2}{19}\times 5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33}{19}\\-\frac{2}{19}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{33}{19},y=-\frac{2}{19}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x-5y=4,3x+2y=5$$

Til að gera 2x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$3\times 2x+3\left(-5\right)y=3\times 4,2\times 3x+2\times 2y=2\times 5$$

Einfaldaðu.

$$6x-15y=12,6x+4y=10$$

Dragðu 6x+4y=10 frá 6x-15y=12 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x-15y-4y=12-10$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-15y-4y=12-10$$

Leggðu -15y saman við -4y.

$$-19y=12-10$$

Leggðu 12 saman við -10.

$$-19y=2$$

Deildu báðum hliðum með -19.

$$y=-\frac{2}{19}$$

Skiptu -\frac{2}{19} út fyrir y í 3x+2y=5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+2\left(-\frac{2}{19}\right)=5$$

Margfaldaðu 2 sinnum -\frac{2}{19}.

$$3x-\frac{4}{19}=5$$

Leggðu \frac{4}{19} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=\frac{99}{19}$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{33}{19}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{33}{19},y=-\frac{2}{19}$$