Leysa {l}{2x-5y=10}{4x+y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 10 } \\ { 4 x + y = 5 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{35}{22} = 1\frac{13}{22} \approx 1.590909091$$

$$y = -\frac{15}{11} = -1\frac{4}{11} \approx -1.363636364$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x-5y=10,4x+y=5$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x-5y=10$$

Leggðu 5y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=5y+10$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+10\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum 10+5y.

$$x=\frac{5}{2}y+5$$

Settu 5+\frac{5y}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x+y=5.

$$4\left(\frac{5}{2}y+5\right)+y=5$$

Margfaldaðu 4 sinnum 5+\frac{5y}{2}.

$$10y+20+y=5$$

Leggðu 10y saman við y.

$$11y+20=5$$

Dragðu 20 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$11y=-15$$

Deildu báðum hliðum með 11.

$$y=-\frac{15}{11}$$

Skiptu -\frac{15}{11} út fyrir y í x=\frac{5}{2}y+5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{5}{2}\left(-\frac{15}{11}\right)+5$$

Margfaldaðu \frac{5}{2} sinnum -\frac{15}{11} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{75}{22}+5$$

Leggðu 5 saman við -\frac{75}{22}.

$$x=\frac{35}{22}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{35}{22},y=-\frac{15}{11}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x-5y=10,4x+y=5$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{2-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{2-\left(-5\times 4\right)}&\frac{2}{2-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}&\frac{5}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}\times 10+\frac{5}{22}\times 5\\-\frac{2}{11}\times 10+\frac{1}{11}\times 5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{22}\\-\frac{15}{11}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{35}{22},y=-\frac{15}{11}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x-5y=10,4x+y=5$$

Til að gera 2x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$4\times 2x+4\left(-5\right)y=4\times 10,2\times 4x+2y=2\times 5$$

Einfaldaðu.

$$8x-20y=40,8x+2y=10$$

Dragðu 8x+2y=10 frá 8x-20y=40 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$8x-8x-20y-2y=40-10$$

Leggðu 8x saman við -8x. Liðirnir 8x og -8x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-20y-2y=40-10$$

Leggðu -20y saman við -2y.

$$-22y=40-10$$

Leggðu 40 saman við -10.

$$-22y=30$$

Deildu báðum hliðum með -22.

$$y=-\frac{15}{11}$$

Skiptu -\frac{15}{11} út fyrir y í 4x+y=5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x-\frac{15}{11}=5$$

Leggðu \frac{15}{11} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x=\frac{70}{11}$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{35}{22}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{35}{22},y=-\frac{15}{11}$$