Leysa {l}{2x-5y=1}{3x-2y=-4}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 1 } \\ { 3 x - 2 y = - 4 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-2$$

$$y=-1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x-5y=1,3x-2y=-4$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x-5y=1$$

Leggðu 5y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=5y+1$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+1\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum 5y+1.

$$x=\frac{5}{2}y+\frac{1}{2}$$

Settu \frac{5y+1}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x-2y=-4.

$$3\left(\frac{5}{2}y+\frac{1}{2}\right)-2y=-4$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{5y+1}{2}.

$$\frac{15}{2}y+\frac{3}{2}-2y=-4$$

Leggðu \frac{15y}{2} saman við -2y.

$$\frac{11}{2}y+\frac{3}{2}=-4$$

Dragðu \frac{3}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{11}{2}y=-\frac{11}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{11}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í x=\frac{5}{2}y+\frac{1}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{5}{2}\left(-1\right)+\frac{1}{2}$$

Margfaldaðu \frac{5}{2} sinnum -1.

$$x=\frac{-5+1}{2}$$

Leggðu \frac{1}{2} saman við -\frac{5}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-2,y=-1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x-5y=1,3x-2y=-4$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-5\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{2\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}&\frac{5}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}+\frac{5}{11}\left(-4\right)\\-\frac{3}{11}+\frac{2}{11}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-2,y=-1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x-5y=1,3x-2y=-4$$

Til að gera 2x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$3\times 2x+3\left(-5\right)y=3,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\left(-4\right)$$

Einfaldaðu.

$$6x-15y=3,6x-4y=-8$$

Dragðu 6x-4y=-8 frá 6x-15y=3 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x-15y+4y=3+8$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-15y+4y=3+8$$

Leggðu -15y saman við 4y.

$$-11y=3+8$$

Leggðu 3 saman við 8.

$$-11y=11$$

Deildu báðum hliðum með -11.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í 3x-2y=-4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x-2\left(-1\right)=-4$$

Margfaldaðu -2 sinnum -1.

$$3x+2=-4$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-6$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-2,y=-1$$