Leysa {l}{2x-4y=10}{6x-4y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 4 y = 10 } \\ { 6 x - 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$y = -\frac{19}{8} = -2\frac{3}{8} = -2.375$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x-4y=10,6x-4y=11$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x-4y=10$$

Leggðu 4y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=4y+10$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(4y+10\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum 4y+10.

$$x=2y+5$$

Settu 2y+5 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 6x-4y=11.

$$6\left(2y+5\right)-4y=11$$

Margfaldaðu 6 sinnum 2y+5.

$$12y+30-4y=11$$

Leggðu 12y saman við -4y.

$$8y+30=11$$

Dragðu 30 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$8y=-19$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$y=-\frac{19}{8}$$

Skiptu -\frac{19}{8} út fyrir y í x=2y+5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=2\left(-\frac{19}{8}\right)+5$$

Margfaldaðu 2 sinnum -\frac{19}{8}.

$$x=-\frac{19}{4}+5$$

Leggðu 5 saman við -\frac{19}{4}.

$$x=\frac{1}{4}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{1}{4},y=-\frac{19}{8}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x-4y=10,6x-4y=11$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}&-\frac{-4}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}\\-\frac{6}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}&\frac{2}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 10+\frac{1}{4}\times 11\\-\frac{3}{8}\times 10+\frac{1}{8}\times 11\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\-\frac{19}{8}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{1}{4},y=-\frac{19}{8}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x-4y=10,6x-4y=11$$

Dragðu 6x-4y=11 frá 2x-4y=10 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-6x-4y+4y=10-11$$

Leggðu -4y saman við 4y. Liðirnir -4y og 4y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2x-6x=10-11$$

Leggðu 2x saman við -6x.

$$-4x=10-11$$

Leggðu 10 saman við -11.

$$-4x=-1$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$x=\frac{1}{4}$$

Skiptu \frac{1}{4} út fyrir x í 6x-4y=11. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$6\times \frac{1}{4}-4y=11$$

Margfaldaðu 6 sinnum \frac{1}{4}.

$$\frac{3}{2}-4y=11$$

Dragðu \frac{3}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-4y=\frac{19}{2}$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$y=-\frac{19}{8}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{1}{4},y=-\frac{19}{8}$$