Leysa {l}{2x-3y-10=0}{17y=-11-3x}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y - 10 = 0 } \\ { 17 y = - 11 - 3 x } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{137}{43} = 3\frac{8}{43} \approx 3.186046512$$

$$y = -\frac{52}{43} = -1\frac{9}{43} \approx -1.209302326$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu 10 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$2x-3y=10$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu 3x við báðar hliðar.

$$17y+3x=-11$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x-3y=10,3x+17y=-11$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x-3y=10$$

Leggðu 3y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=3y+10$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+10\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum 3y+10.

$$x=\frac{3}{2}y+5$$

Settu \frac{3y}{2}+5 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+17y=-11.

$$3\left(\frac{3}{2}y+5\right)+17y=-11$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{3y}{2}+5.

$$\frac{9}{2}y+15+17y=-11$$

Leggðu \frac{9y}{2} saman við 17y.

$$\frac{43}{2}y+15=-11$$

Dragðu 15 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{43}{2}y=-26$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{43}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{52}{43}$$

Skiptu -\frac{52}{43} út fyrir y í x=\frac{3}{2}y+5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{52}{43}\right)+5$$

Margfaldaðu \frac{3}{2} sinnum -\frac{52}{43} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{78}{43}+5$$

Leggðu 5 saman við -\frac{78}{43}.

$$x=\frac{137}{43}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{137}{43},y=-\frac{52}{43}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu 10 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$2x-3y=10$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu 3x við báðar hliðar.

$$17y+3x=-11$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x-3y=10,3x+17y=-11$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{2\times 17-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 17-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 17-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 17-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{43}&\frac{3}{43}\\-\frac{3}{43}&\frac{2}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{43}\times 10+\frac{3}{43}\left(-11\right)\\-\frac{3}{43}\times 10+\frac{2}{43}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{137}{43}\\-\frac{52}{43}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{137}{43},y=-\frac{52}{43}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu 10 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$2x-3y=10$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu 3x við báðar hliðar.

$$17y+3x=-11$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x-3y=10,3x+17y=-11$$

Til að gera 2x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 10,2\times 3x+2\times 17y=2\left(-11\right)$$

Einfaldaðu.

$$6x-9y=30,6x+34y=-22$$

Dragðu 6x+34y=-22 frá 6x-9y=30 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x-9y-34y=30+22$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-9y-34y=30+22$$

Leggðu -9y saman við -34y.

$$-43y=30+22$$

Leggðu 30 saman við 22.

$$-43y=52$$

Deildu báðum hliðum með -43.

$$y=-\frac{52}{43}$$

Skiptu -\frac{52}{43} út fyrir y í 3x+17y=-11. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+17\left(-\frac{52}{43}\right)=-11$$

Margfaldaðu 17 sinnum -\frac{52}{43}.

$$3x-\frac{884}{43}=-11$$

Leggðu \frac{884}{43} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=\frac{411}{43}$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{137}{43}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{137}{43},y=-\frac{52}{43}$$