Leysa {l}{2x-3y=12}{4x+3y=24}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 12 } \\ { 4 x + 3 y = 24 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=6$$

$$y=0$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x-3y=12,4x+3y=24$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x-3y=12$$

Leggðu 3y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=3y+12$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+12\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum 12+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+6$$

Settu \frac{3y}{2}+6 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x+3y=24.

$$4\left(\frac{3}{2}y+6\right)+3y=24$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{3y}{2}+6.

$$6y+24+3y=24$$

Leggðu 6y saman við 3y.

$$9y+24=24$$

Dragðu 24 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$9y=0$$

Deildu báðum hliðum með 9.

$$y=0$$

Skiptu 0 út fyrir y í x=\frac{3}{2}y+6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=6,y=0$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x-3y=12,4x+3y=24$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\24\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-3\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\24\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\24\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\24\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2\times 3-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2\times 3-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\24\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\-\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\24\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 12+\frac{1}{6}\times 24\\-\frac{2}{9}\times 12+\frac{1}{9}\times 24\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=6,y=0$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x-3y=12,4x+3y=24$$

Til að gera 2x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$4\times 2x+4\left(-3\right)y=4\times 12,2\times 4x+2\times 3y=2\times 24$$

Einfaldaðu.

$$8x-12y=48,8x+6y=48$$

Dragðu 8x+6y=48 frá 8x-12y=48 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$8x-8x-12y-6y=48-48$$

Leggðu 8x saman við -8x. Liðirnir 8x og -8x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-12y-6y=48-48$$

Leggðu -12y saman við -6y.

$$-18y=48-48$$

Leggðu 48 saman við -48.

$$-18y=0$$

Deildu báðum hliðum með -18.

$$y=0$$

Skiptu 0 út fyrir y í 4x+3y=24. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x=24$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=6,y=0$$