Leysa {l}{2x-19y=-10}{19x-18y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 19 y = - 10 } \\ { 19 x - 18 y = 13 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{427}{325} = 1\frac{102}{325} \approx 1.313846154$$

$$y=\frac{216}{325}\approx 0.664615385$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x-19y=-10,19x-18y=13$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x-19y=-10$$

Leggðu 19y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=19y-10$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(19y-10\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum 19y-10.

$$x=\frac{19}{2}y-5$$

Settu \frac{19y}{2}-5 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 19x-18y=13.

$$19\left(\frac{19}{2}y-5\right)-18y=13$$

Margfaldaðu 19 sinnum \frac{19y}{2}-5.

$$\frac{361}{2}y-95-18y=13$$

Leggðu \frac{361y}{2} saman við -18y.

$$\frac{325}{2}y-95=13$$

Leggðu 95 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{325}{2}y=108$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{325}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{216}{325}$$

Skiptu \frac{216}{325} út fyrir y í x=\frac{19}{2}y-5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{19}{2}\times \frac{216}{325}-5$$

Margfaldaðu \frac{19}{2} sinnum \frac{216}{325} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{2052}{325}-5$$

Leggðu -5 saman við \frac{2052}{325}.

$$x=\frac{427}{325}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{427}{325},y=\frac{216}{325}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x-19y=-10,19x-18y=13$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-19\\19&-18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\13\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-19\\19&-18\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-19\\19&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-19\\19&-18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-19\\19&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\13\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-19\\19&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\13\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-19\\19&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\13\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{2\left(-18\right)-\left(-19\times 19\right)}&-\frac{-19}{2\left(-18\right)-\left(-19\times 19\right)}\\-\frac{19}{2\left(-18\right)-\left(-19\times 19\right)}&\frac{2}{2\left(-18\right)-\left(-19\times 19\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\13\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{325}&\frac{19}{325}\\-\frac{19}{325}&\frac{2}{325}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\13\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{325}\left(-10\right)+\frac{19}{325}\times 13\\-\frac{19}{325}\left(-10\right)+\frac{2}{325}\times 13\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{427}{325}\\\frac{216}{325}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{427}{325},y=\frac{216}{325}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x-19y=-10,19x-18y=13$$

Til að gera 2x og 19x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 19 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$19\times 2x+19\left(-19\right)y=19\left(-10\right),2\times 19x+2\left(-18\right)y=2\times 13$$

Einfaldaðu.

$$38x-361y=-190,38x-36y=26$$

Dragðu 38x-36y=26 frá 38x-361y=-190 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$38x-38x-361y+36y=-190-26$$

Leggðu 38x saman við -38x. Liðirnir 38x og -38x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-361y+36y=-190-26$$

Leggðu -361y saman við 36y.

$$-325y=-190-26$$

Leggðu -190 saman við -26.

$$-325y=-216$$

Deildu báðum hliðum með -325.

$$y=\frac{216}{325}$$

Skiptu \frac{216}{325} út fyrir y í 19x-18y=13. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$19x-18\times \frac{216}{325}=13$$

Margfaldaðu -18 sinnum \frac{216}{325}.

$$19x-\frac{3888}{325}=13$$

Leggðu \frac{3888}{325} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$19x=\frac{8113}{325}$$

Deildu báðum hliðum með 19.

$$x=\frac{427}{325}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{427}{325},y=\frac{216}{325}$$