Leysa {l}{2x+y-3=0}{2x-3y-7=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y - 3 = 0 } \\ { 2 x - 3 y - 7 = 0 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=2$$

$$y=-1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+y-3=0,2x-3y-7=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+y-3=0$$

Leggðu 3 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x+y=3$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-y+3$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -y+3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Settu \frac{-y+3}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x-3y-7=0.

$$2\left(-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)-3y-7=0$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{-y+3}{2}.

$$-y+3-3y-7=0$$

Leggðu -y saman við -3y.

$$-4y+3-7=0$$

Leggðu 3 saman við -7.

$$-4y-4=0$$

Leggðu 4 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-4y=4$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{3}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum -1.

$$x=\frac{1+3}{2}$$

Leggðu \frac{3}{2} saman við \frac{1}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=-1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+y-3=0,2x-3y-7=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&1\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-2}&-\frac{1}{2\left(-3\right)-2}\\-\frac{2}{2\left(-3\right)-2}&\frac{2}{2\left(-3\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 3+\frac{1}{8}\times 7\\\frac{1}{4}\times 3-\frac{1}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=2,y=-1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+y-3=0,2x-3y-7=0$$

Dragðu 2x-3y-7=0 frá 2x+y-3=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-2x+y+3y-3+7=0$$

Leggðu 2x saman við -2x. Liðirnir 2x og -2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$y+3y-3+7=0$$

Leggðu y saman við 3y.

$$4y-3+7=0$$

Leggðu -3 saman við 7.

$$4y+4=0$$

Dragðu 4 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4y=-4$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í 2x-3y-7=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x-3\left(-1\right)-7=0$$

Margfaldaðu -3 sinnum -1.

$$2x+3-7=0$$

Leggðu 3 saman við -7.

$$2x-4=0$$

Leggðu 4 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=4$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=-1$$