Leysa {l}{2x+y=6}{6x-y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 6 } \\ { 6 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=1$$

$$y=4$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+y=6,6x-y=2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+y=6$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-y+6$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+6\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -y+6.

$$x=-\frac{1}{2}y+3$$

Settu -\frac{y}{2}+3 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 6x-y=2.

$$6\left(-\frac{1}{2}y+3\right)-y=2$$

Margfaldaðu 6 sinnum -\frac{y}{2}+3.

$$-3y+18-y=2$$

Leggðu -3y saman við -y.

$$-4y+18=2$$

Dragðu 18 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-4y=-16$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$y=4$$

Skiptu 4 út fyrir y í x=-\frac{1}{2}y+3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{2}\times 4+3$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum 4.

$$x=-2+3$$

Leggðu 3 saman við -2.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=4$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+y=6,6x-y=2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&1\\6&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-6}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-6}\\-\frac{6}{2\left(-1\right)-6}&\frac{2}{2\left(-1\right)-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 6+\frac{1}{8}\times 2\\\frac{3}{4}\times 6-\frac{1}{4}\times 2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=1,y=4$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+y=6,6x-y=2$$

Til að gera 2x og 6x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 6 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$6\times 2x+6y=6\times 6,2\times 6x+2\left(-1\right)y=2\times 2$$

Einfaldaðu.

$$12x+6y=36,12x-2y=4$$

Dragðu 12x-2y=4 frá 12x+6y=36 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$12x-12x+6y+2y=36-4$$

Leggðu 12x saman við -12x. Liðirnir 12x og -12x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$6y+2y=36-4$$

Leggðu 6y saman við 2y.

$$8y=36-4$$

Leggðu 36 saman við -4.

$$8y=32$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$y=4$$

Skiptu 4 út fyrir y í 6x-y=2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$6x-4=2$$

Leggðu 4 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$6x=6$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=4$$