Leysa {l}{2x+y=45}{3x+5y=70}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 45 } \\ { 3 x + 5 y = 70 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{155}{7} = 22\frac{1}{7} \approx 22.142857143$$

$$y=\frac{5}{7}\approx 0.714285714$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+y=45,3x+5y=70$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+y=45$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-y+45$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+45\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -y+45.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}$$

Settu \frac{-y+45}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+5y=70.

$$3\left(-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}\right)+5y=70$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{-y+45}{2}.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{135}{2}+5y=70$$

Leggðu -\frac{3y}{2} saman við 5y.

$$\frac{7}{2}y+\frac{135}{2}=70$$

Dragðu \frac{135}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{7}{2}y=\frac{5}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{7}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{5}{7}$$

Skiptu \frac{5}{7} út fyrir y í x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{5}{7}+\frac{45}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum \frac{5}{7} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{5}{14}+\frac{45}{2}$$

Leggðu \frac{45}{2} saman við -\frac{5}{14} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{155}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{155}{7},y=\frac{5}{7}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+y=45,3x+5y=70$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3}&-\frac{1}{2\times 5-3}\\-\frac{3}{2\times 5-3}&\frac{2}{2\times 5-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}\times 45-\frac{1}{7}\times 70\\-\frac{3}{7}\times 45+\frac{2}{7}\times 70\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{155}{7}\\\frac{5}{7}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{155}{7},y=\frac{5}{7}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+y=45,3x+5y=70$$

Til að gera 2x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$3\times 2x+3y=3\times 45,2\times 3x+2\times 5y=2\times 70$$

Einfaldaðu.

$$6x+3y=135,6x+10y=140$$

Dragðu 6x+10y=140 frá 6x+3y=135 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x+3y-10y=135-140$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$3y-10y=135-140$$

Leggðu 3y saman við -10y.

$$-7y=135-140$$

Leggðu 135 saman við -140.

$$-7y=-5$$

Deildu báðum hliðum með -7.

$$y=\frac{5}{7}$$

Skiptu \frac{5}{7} út fyrir y í 3x+5y=70. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+5\times \frac{5}{7}=70$$

Margfaldaðu 5 sinnum \frac{5}{7}.

$$3x+\frac{25}{7}=70$$

Dragðu \frac{25}{7} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=\frac{465}{7}$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{155}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{155}{7},y=\frac{5}{7}$$