Leysa {l}{2x+y=18}{3x+2y=28}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 18 } \\ { 3 x + 2 y = 28 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=8$$

$$y=2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+y=18,3x+2y=28$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+y=18$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-y+18$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+18\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -y+18.

$$x=-\frac{1}{2}y+9$$

Settu -\frac{y}{2}+9 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+2y=28.

$$3\left(-\frac{1}{2}y+9\right)+2y=28$$

Margfaldaðu 3 sinnum -\frac{y}{2}+9.

$$-\frac{3}{2}y+27+2y=28$$

Leggðu -\frac{3y}{2} saman við 2y.

$$\frac{1}{2}y+27=28$$

Dragðu 27 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{1}{2}y=1$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 2.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í x=-\frac{1}{2}y+9. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{2}\times 2+9$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum 2.

$$x=-1+9$$

Leggðu 9 saman við -1.

$$x=8$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=8,y=2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+y=18,3x+2y=28$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{1}{2\times 2-3}\\-\frac{3}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 18-28\\-3\times 18+2\times 28\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=8,y=2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+y=18,3x+2y=28$$

Til að gera 2x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$3\times 2x+3y=3\times 18,2\times 3x+2\times 2y=2\times 28$$

Einfaldaðu.

$$6x+3y=54,6x+4y=56$$

Dragðu 6x+4y=56 frá 6x+3y=54 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x+3y-4y=54-56$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$3y-4y=54-56$$

Leggðu 3y saman við -4y.

$$-y=54-56$$

Leggðu 54 saman við -56.

$$-y=-2$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í 3x+2y=28. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+2\times 2=28$$

Margfaldaðu 2 sinnum 2.

$$3x+4=28$$

Dragðu 4 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=24$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=8$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=8,y=2$$