Leysa {l}{2x+y=17}{5x-5y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 17 } \\ { 5 x - 5 y = 5 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=6$$

$$y=5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+y=17,5x-5y=5$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+y=17$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-y+17$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+17\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -y+17.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{17}{2}$$

Settu \frac{-y+17}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 5x-5y=5.

$$5\left(-\frac{1}{2}y+\frac{17}{2}\right)-5y=5$$

Margfaldaðu 5 sinnum \frac{-y+17}{2}.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{85}{2}-5y=5$$

Leggðu -\frac{5y}{2} saman við -5y.

$$-\frac{15}{2}y+\frac{85}{2}=5$$

Dragðu \frac{85}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{15}{2}y=-\frac{75}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{15}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í x=-\frac{1}{2}y+\frac{17}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{2}\times 5+\frac{17}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum 5.

$$x=\frac{-5+17}{2}$$

Leggðu \frac{17}{2} saman við -\frac{5}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=6,y=5$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+y=17,5x-5y=5$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\5&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&1\\5&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\5&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\5\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\5\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-5}&-\frac{1}{2\left(-5\right)-5}\\-\frac{5}{2\left(-5\right)-5}&\frac{2}{2\left(-5\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{15}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 17+\frac{1}{15}\times 5\\\frac{1}{3}\times 17-\frac{2}{15}\times 5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\5\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=6,y=5$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+y=17,5x-5y=5$$

Til að gera 2x og 5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$5\times 2x+5y=5\times 17,2\times 5x+2\left(-5\right)y=2\times 5$$

Einfaldaðu.

$$10x+5y=85,10x-10y=10$$

Dragðu 10x-10y=10 frá 10x+5y=85 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$10x-10x+5y+10y=85-10$$

Leggðu 10x saman við -10x. Liðirnir 10x og -10x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$5y+10y=85-10$$

Leggðu 5y saman við 10y.

$$15y=85-10$$

Leggðu 85 saman við -10.

$$15y=75$$

Deildu báðum hliðum með 15.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í 5x-5y=5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$5x-5\times 5=5$$

Margfaldaðu -5 sinnum 5.

$$5x-25=5$$

Leggðu 25 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=30$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=6,y=5$$