Leysa {l}{2x+y=12}{3x-2y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 12 } \\ { 3 x - 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{32}{7} = 4\frac{4}{7} \approx 4.571428571$$

$$y = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7} \approx 2.857142857$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+y=12,3x-2y=8$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+y=12$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-y+12$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+12\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -y+12.

$$x=-\frac{1}{2}y+6$$

Settu -\frac{y}{2}+6 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x-2y=8.

$$3\left(-\frac{1}{2}y+6\right)-2y=8$$

Margfaldaðu 3 sinnum -\frac{y}{2}+6.

$$-\frac{3}{2}y+18-2y=8$$

Leggðu -\frac{3y}{2} saman við -2y.

$$-\frac{7}{2}y+18=8$$

Dragðu 18 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{7}{2}y=-10$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{7}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{20}{7}$$

Skiptu \frac{20}{7} út fyrir y í x=-\frac{1}{2}y+6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{20}{7}+6$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum \frac{20}{7} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{10}{7}+6$$

Leggðu 6 saman við -\frac{10}{7}.

$$x=\frac{32}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{32}{7},y=\frac{20}{7}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+y=12,3x-2y=8$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3}&-\frac{1}{2\left(-2\right)-3}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 12+\frac{1}{7}\times 8\\\frac{3}{7}\times 12-\frac{2}{7}\times 8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{32}{7}\\\frac{20}{7}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{32}{7},y=\frac{20}{7}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+y=12,3x-2y=8$$

Til að gera 2x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$3\times 2x+3y=3\times 12,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 8$$

Einfaldaðu.

$$6x+3y=36,6x-4y=16$$

Dragðu 6x-4y=16 frá 6x+3y=36 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x+3y+4y=36-16$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$3y+4y=36-16$$

Leggðu 3y saman við 4y.

$$7y=36-16$$

Leggðu 36 saman við -16.

$$7y=20$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$y=\frac{20}{7}$$

Skiptu \frac{20}{7} út fyrir y í 3x-2y=8. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x-2\times \frac{20}{7}=8$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{20}{7}.

$$3x-\frac{40}{7}=8$$

Leggðu \frac{40}{7} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=\frac{96}{7}$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{32}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{32}{7},y=\frac{20}{7}$$