Leysa {l}{2x+y=1}{-x+y=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 1 } \\ { - x + y = - 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+y=1,-x+y=-2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+y=1$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-y+1$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+1\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -y+1.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Settu \frac{-y+1}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -x+y=-2.

$$-\left(-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)+y=-2$$

Margfaldaðu -1 sinnum \frac{-y+1}{2}.

$$\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}+y=-2$$

Leggðu \frac{y}{2} saman við y.

$$\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}=-2$$

Leggðu \frac{1}{2} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{3}{2}y=-\frac{3}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{3}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{1}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum -1.

$$x=\frac{1+1}{2}$$

Leggðu \frac{1}{2} saman við \frac{1}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=-1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+y=1,-x+y=-2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&1\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-1\right)}&-\frac{1}{2-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-1\right)}&\frac{2}{2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\left(-2\right)\\\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=1,y=-1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+y=1,-x+y=-2$$

Dragðu -x+y=-2 frá 2x+y=1 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x+x+y-y=1+2$$

Leggðu y saman við -y. Liðirnir y og -y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2x+x=1+2$$

Leggðu 2x saman við x.

$$3x=1+2$$

Leggðu 1 saman við 2.

$$3x=3$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=1$$

Skiptu 1 út fyrir x í -x+y=-2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$-1+y=-2$$

Leggðu 1 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=-1$$