Leysa {l}{2x+y=-6}{y=7x+3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = - 6 } \\ { y = 7 x + 3 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-1$$

$$y=-4$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 7x frá báðum hliðum.

$$y-7x=3$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+y=-6,-7x+y=3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+y=-6$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-y-6$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-6\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -y-6.

$$x=-\frac{1}{2}y-3$$

Settu -\frac{y}{2}-3 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -7x+y=3.

$$-7\left(-\frac{1}{2}y-3\right)+y=3$$

Margfaldaðu -7 sinnum -\frac{y}{2}-3.

$$\frac{7}{2}y+21+y=3$$

Leggðu \frac{7y}{2} saman við y.

$$\frac{9}{2}y+21=3$$

Dragðu 21 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{9}{2}y=-18$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{9}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-4$$

Skiptu -4 út fyrir y í x=-\frac{1}{2}y-3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-4\right)-3$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum -4.

$$x=2-3$$

Leggðu -3 saman við 2.

$$x=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-1,y=-4$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 7x frá báðum hliðum.

$$y-7x=3$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+y=-6,-7x+y=3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-7\right)}&-\frac{1}{2-\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{2-\left(-7\right)}&\frac{2}{2-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{9}\\\frac{7}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-6\right)-\frac{1}{9}\times 3\\\frac{7}{9}\left(-6\right)+\frac{2}{9}\times 3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-1,y=-4$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 7x frá báðum hliðum.

$$y-7x=3$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+y=-6,-7x+y=3$$

Dragðu -7x+y=3 frá 2x+y=-6 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x+7x+y-y=-6-3$$

Leggðu y saman við -y. Liðirnir y og -y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2x+7x=-6-3$$

Leggðu 2x saman við 7x.

$$9x=-6-3$$

Leggðu -6 saman við -3.

$$9x=-9$$

Deildu báðum hliðum með 9.

$$x=-1$$

Skiptu -1 út fyrir x í -7x+y=3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$-7\left(-1\right)+y=3$$

Margfaldaðu -7 sinnum -1.

$$7+y=3$$

Dragðu 7 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=-4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-1,y=-4$$