Leysa {l}{2x+y=-16}{-4x+10y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = - 16 } \\ { - 4 x + 10 y = 8 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-7$$

$$y=-2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+y=-16,-4x+10y=8$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+y=-16$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-y-16$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-16\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -y-16.

$$x=-\frac{1}{2}y-8$$

Settu -\frac{y}{2}-8 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -4x+10y=8.

$$-4\left(-\frac{1}{2}y-8\right)+10y=8$$

Margfaldaðu -4 sinnum -\frac{y}{2}-8.

$$2y+32+10y=8$$

Leggðu 2y saman við 10y.

$$12y+32=8$$

Dragðu 32 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$12y=-24$$

Deildu báðum hliðum með 12.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í x=-\frac{1}{2}y-8. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-2\right)-8$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum -2.

$$x=1-8$$

Leggðu -8 saman við 1.

$$x=-7$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-7,y=-2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+y=-16,-4x+10y=8$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{2\times 10-\left(-4\right)}&-\frac{1}{2\times 10-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{2\times 10-\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 10-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{1}{24}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}\left(-16\right)-\frac{1}{24}\times 8\\\frac{1}{6}\left(-16\right)+\frac{1}{12}\times 8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-7,y=-2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+y=-16,-4x+10y=8$$

Til að gera 2x og -4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$-4\times 2x-4y=-4\left(-16\right),2\left(-4\right)x+2\times 10y=2\times 8$$

Einfaldaðu.

$$-8x-4y=64,-8x+20y=16$$

Dragðu -8x+20y=16 frá -8x-4y=64 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-8x+8x-4y-20y=64-16$$

Leggðu -8x saman við 8x. Liðirnir -8x og 8x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-4y-20y=64-16$$

Leggðu -4y saman við -20y.

$$-24y=64-16$$

Leggðu 64 saman við -16.

$$-24y=48$$

Deildu báðum hliðum með -24.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í -4x+10y=8. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-4x+10\left(-2\right)=8$$

Margfaldaðu 10 sinnum -2.

$$-4x-20=8$$

Leggðu 20 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-4x=28$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$x=-7$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-7,y=-2$$