Leysa {l}{2x+8y=64}{7x+y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 8 y = 64 } \\ { 7 x + y = 8 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=0$$

$$y=8$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+8y=64,7x+y=8$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+8y=64$$

Dragðu 8y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-8y+64$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-8y+64\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -8y+64.

$$x=-4y+32$$

Settu -4y+32 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 7x+y=8.

$$7\left(-4y+32\right)+y=8$$

Margfaldaðu 7 sinnum -4y+32.

$$-28y+224+y=8$$

Leggðu -28y saman við y.

$$-27y+224=8$$

Dragðu 224 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-27y=-216$$

Deildu báðum hliðum með -27.

$$y=8$$

Skiptu 8 út fyrir y í x=-4y+32. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-4\times 8+32$$

Margfaldaðu -4 sinnum 8.

$$x=-32+32$$

Leggðu 32 saman við -32.

$$x=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=0,y=8$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+8y=64,7x+y=8$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-8\times 7}&-\frac{8}{2-8\times 7}\\-\frac{7}{2-8\times 7}&\frac{2}{2-8\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{54}&\frac{4}{27}\\\frac{7}{54}&-\frac{1}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{54}\times 64+\frac{4}{27}\times 8\\\frac{7}{54}\times 64-\frac{1}{27}\times 8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\8\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=0,y=8$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+8y=64,7x+y=8$$

Til að gera 2x og 7x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 7 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$7\times 2x+7\times 8y=7\times 64,2\times 7x+2y=2\times 8$$

Einfaldaðu.

$$14x+56y=448,14x+2y=16$$

Dragðu 14x+2y=16 frá 14x+56y=448 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$14x-14x+56y-2y=448-16$$

Leggðu 14x saman við -14x. Liðirnir 14x og -14x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$56y-2y=448-16$$

Leggðu 56y saman við -2y.

$$54y=448-16$$

Leggðu 448 saman við -16.

$$54y=432$$

Deildu báðum hliðum með 54.

$$y=8$$

Skiptu 8 út fyrir y í 7x+y=8. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$7x+8=8$$

Dragðu 8 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$7x=0$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$x=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=0,y=8$$