Leysa {l}{2x+7y=5}{3x+6y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 7 y = 5 } \\ { 3 x + 6 y = 20 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{110}{9} = 12\frac{2}{9} \approx 12.222222222$$

$$y = -\frac{25}{9} = -2\frac{7}{9} \approx -2.777777778$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+7y=5,3x+6y=20$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+7y=5$$

Dragðu 7y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-7y+5$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-7y+5\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -7y+5.

$$x=-\frac{7}{2}y+\frac{5}{2}$$

Settu \frac{-7y+5}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+6y=20.

$$3\left(-\frac{7}{2}y+\frac{5}{2}\right)+6y=20$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{-7y+5}{2}.

$$-\frac{21}{2}y+\frac{15}{2}+6y=20$$

Leggðu -\frac{21y}{2} saman við 6y.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{15}{2}=20$$

Dragðu \frac{15}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{9}{2}y=\frac{25}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{9}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{25}{9}$$

Skiptu -\frac{25}{9} út fyrir y í x=-\frac{7}{2}y+\frac{5}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{7}{2}\left(-\frac{25}{9}\right)+\frac{5}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{7}{2} sinnum -\frac{25}{9} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{175}{18}+\frac{5}{2}$$

Leggðu \frac{5}{2} saman við \frac{175}{18} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{110}{9}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{110}{9},y=-\frac{25}{9}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+7y=5,3x+6y=20$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&7\\3&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&7\\3&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&7\\3&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-7\times 3}&-\frac{7}{2\times 6-7\times 3}\\-\frac{3}{2\times 6-7\times 3}&\frac{2}{2\times 6-7\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{7}{9}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 5+\frac{7}{9}\times 20\\\frac{1}{3}\times 5-\frac{2}{9}\times 20\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{110}{9}\\-\frac{25}{9}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{110}{9},y=-\frac{25}{9}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+7y=5,3x+6y=20$$

Til að gera 2x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$3\times 2x+3\times 7y=3\times 5,2\times 3x+2\times 6y=2\times 20$$

Einfaldaðu.

$$6x+21y=15,6x+12y=40$$

Dragðu 6x+12y=40 frá 6x+21y=15 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x+21y-12y=15-40$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$21y-12y=15-40$$

Leggðu 21y saman við -12y.

$$9y=15-40$$

Leggðu 15 saman við -40.

$$9y=-25$$

Deildu báðum hliðum með 9.

$$y=-\frac{25}{9}$$

Skiptu -\frac{25}{9} út fyrir y í 3x+6y=20. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+6\left(-\frac{25}{9}\right)=20$$

Margfaldaðu 6 sinnum -\frac{25}{9}.

$$3x-\frac{50}{3}=20$$

Leggðu \frac{50}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=\frac{110}{3}$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{110}{9}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{110}{9},y=-\frac{25}{9}$$