Leysa {l}{2x+5y=259}{199x-2y=1127}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 259 } \\ { 199 x - 2 y = 1127 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{2051}{333} = 6\frac{53}{333} \approx 6.159159159$$

$$y = \frac{16429}{333} = 49\frac{112}{333} \approx 49.336336336$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+5y=259$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-5y+259$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+259\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -5y+259.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}$$

Settu \frac{-5y+259}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 199x-2y=1127.

$$199\left(-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}\right)-2y=1127$$

Margfaldaðu 199 sinnum \frac{-5y+259}{2}.

$$-\frac{995}{2}y+\frac{51541}{2}-2y=1127$$

Leggðu -\frac{995y}{2} saman við -2y.

$$-\frac{999}{2}y+\frac{51541}{2}=1127$$

Dragðu \frac{51541}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{999}{2}y=-\frac{49287}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{999}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{16429}{333}$$

Skiptu \frac{16429}{333} út fyrir y í x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{16429}{333}+\frac{259}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{5}{2} sinnum \frac{16429}{333} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{82145}{666}+\frac{259}{2}$$

Leggðu \frac{259}{2} saman við -\frac{82145}{666} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{2051}{333}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\times 199}\\-\frac{199}{2\left(-2\right)-5\times 199}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}&\frac{5}{999}\\\frac{199}{999}&-\frac{2}{999}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}\times 259+\frac{5}{999}\times 1127\\\frac{199}{999}\times 259-\frac{2}{999}\times 1127\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2051}{333}\\\frac{16429}{333}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Til að gera 2x og 199x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 199 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$199\times 2x+199\times 5y=199\times 259,2\times 199x+2\left(-2\right)y=2\times 1127$$

Einfaldaðu.

$$398x+995y=51541,398x-4y=2254$$

Dragðu 398x-4y=2254 frá 398x+995y=51541 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$398x-398x+995y+4y=51541-2254$$

Leggðu 398x saman við -398x. Liðirnir 398x og -398x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$995y+4y=51541-2254$$

Leggðu 995y saman við 4y.

$$999y=51541-2254$$

Leggðu 51541 saman við -2254.

$$999y=49287$$

Deildu báðum hliðum með 999.

$$y=\frac{16429}{333}$$

Skiptu \frac{16429}{333} út fyrir y í 199x-2y=1127. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$199x-2\times \frac{16429}{333}=1127$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{16429}{333}.

$$199x-\frac{32858}{333}=1127$$

Leggðu \frac{32858}{333} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$199x=\frac{408149}{333}$$

Deildu báðum hliðum með 199.

$$x=\frac{2051}{333}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$