Leysa {l}{2x+5y=20}{3x-2y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 20 } \\ { 3 x - 2 y = 11 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=5$$

$$y=2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+5y=20,3x-2y=11$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+5y=20$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-5y+20$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+20\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -5y+20.

$$x=-\frac{5}{2}y+10$$

Settu -\frac{5y}{2}+10 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x-2y=11.

$$3\left(-\frac{5}{2}y+10\right)-2y=11$$

Margfaldaðu 3 sinnum -\frac{5y}{2}+10.

$$-\frac{15}{2}y+30-2y=11$$

Leggðu -\frac{15y}{2} saman við -2y.

$$-\frac{19}{2}y+30=11$$

Dragðu 30 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{19}{2}y=-19$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{19}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í x=-\frac{5}{2}y+10. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{5}{2}\times 2+10$$

Margfaldaðu -\frac{5}{2} sinnum 2.

$$x=-5+10$$

Leggðu 10 saman við -5.

$$x=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=5,y=2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+5y=20,3x-2y=11$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\11\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\11\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 3}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-5\times 3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\11\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\\\frac{3}{19}&-\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 20+\frac{5}{19}\times 11\\\frac{3}{19}\times 20-\frac{2}{19}\times 11\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=5,y=2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+5y=20,3x-2y=11$$

Til að gera 2x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$3\times 2x+3\times 5y=3\times 20,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 11$$

Einfaldaðu.

$$6x+15y=60,6x-4y=22$$

Dragðu 6x-4y=22 frá 6x+15y=60 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x+15y+4y=60-22$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$15y+4y=60-22$$

Leggðu 15y saman við 4y.

$$19y=60-22$$

Leggðu 60 saman við -22.

$$19y=38$$

Deildu báðum hliðum með 19.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í 3x-2y=11. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x-2\times 2=11$$

Margfaldaðu -2 sinnum 2.

$$3x-4=11$$

Leggðu 4 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=15$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=5,y=2$$