Leysa {l}{2x+5y=2}{3x+3y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 2 } \\ { 3 x + 3 y = 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-\frac{1}{9}\approx -0.111111111$$

$$y=\frac{4}{9}\approx 0.444444444$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+5y=2,3x+3y=1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+5y=2$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-5y+2$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+2\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -5y+2.

$$x=-\frac{5}{2}y+1$$

Settu -\frac{5y}{2}+1 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+3y=1.

$$3\left(-\frac{5}{2}y+1\right)+3y=1$$

Margfaldaðu 3 sinnum -\frac{5y}{2}+1.

$$-\frac{15}{2}y+3+3y=1$$

Leggðu -\frac{15y}{2} saman við 3y.

$$-\frac{9}{2}y+3=1$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{9}{2}y=-2$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{9}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{4}{9}$$

Skiptu \frac{4}{9} út fyrir y í x=-\frac{5}{2}y+1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{4}{9}+1$$

Margfaldaðu -\frac{5}{2} sinnum \frac{4}{9} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{10}{9}+1$$

Leggðu 1 saman við -\frac{10}{9}.

$$x=-\frac{1}{9}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{1}{9},y=\frac{4}{9}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+5y=2,3x+3y=1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&5\\3&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-5\times 3}&-\frac{5}{2\times 3-5\times 3}\\-\frac{3}{2\times 3-5\times 3}&\frac{2}{2\times 3-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{5}{9}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 2+\frac{5}{9}\\\frac{1}{3}\times 2-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\\\frac{4}{9}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{1}{9},y=\frac{4}{9}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+5y=2,3x+3y=1$$

Til að gera 2x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$3\times 2x+3\times 5y=3\times 2,2\times 3x+2\times 3y=2$$

Einfaldaðu.

$$6x+15y=6,6x+6y=2$$

Dragðu 6x+6y=2 frá 6x+15y=6 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x+15y-6y=6-2$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$15y-6y=6-2$$

Leggðu 15y saman við -6y.

$$9y=6-2$$

Leggðu 6 saman við -2.

$$9y=4$$

Deildu báðum hliðum með 9.

$$y=\frac{4}{9}$$

Skiptu \frac{4}{9} út fyrir y í 3x+3y=1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+3\times \frac{4}{9}=1$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{4}{9}.

$$3x+\frac{4}{3}=1$$

Dragðu \frac{4}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-\frac{1}{3}$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=-\frac{1}{9}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{1}{9},y=\frac{4}{9}$$