Leysa {l}{2x+5y=17}{6y=6-5x}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 17 } \\ { 6 y = 6 - 5 x } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = -\frac{72}{13} = -5\frac{7}{13} \approx -5.538461538$$

$$y = \frac{73}{13} = 5\frac{8}{13} \approx 5.615384615$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu 5x við báðar hliðar.

$$6y+5x=6$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+5y=17,5x+6y=6$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+5y=17$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-5y+17$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+17\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -5y+17.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2}$$

Settu \frac{-5y+17}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 5x+6y=6.

$$5\left(-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2}\right)+6y=6$$

Margfaldaðu 5 sinnum \frac{-5y+17}{2}.

$$-\frac{25}{2}y+\frac{85}{2}+6y=6$$

Leggðu -\frac{25y}{2} saman við 6y.

$$-\frac{13}{2}y+\frac{85}{2}=6$$

Dragðu \frac{85}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{13}{2}y=-\frac{73}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{13}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{73}{13}$$

Skiptu \frac{73}{13} út fyrir y í x=-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{73}{13}+\frac{17}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{5}{2} sinnum \frac{73}{13} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{365}{26}+\frac{17}{2}$$

Leggðu \frac{17}{2} saman við -\frac{365}{26} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-\frac{72}{13}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{72}{13},y=\frac{73}{13}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu 5x við báðar hliðar.

$$6y+5x=6$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+5y=17,5x+6y=6$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-5\times 5}&-\frac{5}{2\times 6-5\times 5}\\-\frac{5}{2\times 6-5\times 5}&\frac{2}{2\times 6-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{13}&\frac{5}{13}\\\frac{5}{13}&-\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{13}\times 17+\frac{5}{13}\times 6\\\frac{5}{13}\times 17-\frac{2}{13}\times 6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{72}{13}\\\frac{73}{13}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{72}{13},y=\frac{73}{13}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu 5x við báðar hliðar.

$$6y+5x=6$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+5y=17,5x+6y=6$$

Til að gera 2x og 5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$5\times 2x+5\times 5y=5\times 17,2\times 5x+2\times 6y=2\times 6$$

Einfaldaðu.

$$10x+25y=85,10x+12y=12$$

Dragðu 10x+12y=12 frá 10x+25y=85 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$10x-10x+25y-12y=85-12$$

Leggðu 10x saman við -10x. Liðirnir 10x og -10x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$25y-12y=85-12$$

Leggðu 25y saman við -12y.

$$13y=85-12$$

Leggðu 85 saman við -12.

$$13y=73$$

Deildu báðum hliðum með 13.

$$y=\frac{73}{13}$$

Skiptu \frac{73}{13} út fyrir y í 5x+6y=6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$5x+6\times \frac{73}{13}=6$$

Margfaldaðu 6 sinnum \frac{73}{13}.

$$5x+\frac{438}{13}=6$$

Dragðu \frac{438}{13} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=-\frac{360}{13}$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=-\frac{72}{13}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{72}{13},y=\frac{73}{13}$$