Leysa {l}{2x+5y=17}{5x+y=31}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 17 } \\ { 5 x + y = 31 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=6$$

$$y=1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+5y=17,5x+y=31$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+5y=17$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-5y+17$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+17\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -5y+17.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2}$$

Settu \frac{-5y+17}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 5x+y=31.

$$5\left(-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2}\right)+y=31$$

Margfaldaðu 5 sinnum \frac{-5y+17}{2}.

$$-\frac{25}{2}y+\frac{85}{2}+y=31$$

Leggðu -\frac{25y}{2} saman við y.

$$-\frac{23}{2}y+\frac{85}{2}=31$$

Dragðu \frac{85}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{23}{2}y=-\frac{23}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{23}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=1$$

Skiptu 1 út fyrir y í x=-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{-5+17}{2}$$

Leggðu \frac{17}{2} saman við -\frac{5}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=6,y=1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+5y=17,5x+y=31$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\31\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&5\\5&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\31\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\31\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\31\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-5\times 5}&-\frac{5}{2-5\times 5}\\-\frac{5}{2-5\times 5}&\frac{2}{2-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\31\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{23}&\frac{5}{23}\\\frac{5}{23}&-\frac{2}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\31\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{23}\times 17+\frac{5}{23}\times 31\\\frac{5}{23}\times 17-\frac{2}{23}\times 31\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=6,y=1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+5y=17,5x+y=31$$

Til að gera 2x og 5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$5\times 2x+5\times 5y=5\times 17,2\times 5x+2y=2\times 31$$

Einfaldaðu.

$$10x+25y=85,10x+2y=62$$

Dragðu 10x+2y=62 frá 10x+25y=85 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$10x-10x+25y-2y=85-62$$

Leggðu 10x saman við -10x. Liðirnir 10x og -10x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$25y-2y=85-62$$

Leggðu 25y saman við -2y.

$$23y=85-62$$

Leggðu 85 saman við -62.

$$23y=23$$

Deildu báðum hliðum með 23.

$$y=1$$

Skiptu 1 út fyrir y í 5x+y=31. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$5x+1=31$$

Dragðu 1 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=30$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=6,y=1$$