Leysa {l}{2x+5y=130}{4x+3y=218}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 130 } \\ { 4 x + 3 y = 218 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=50$$

$$y=6$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+5y=130,4x+3y=218$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+5y=130$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-5y+130$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+130\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -5y+130.

$$x=-\frac{5}{2}y+65$$

Settu -\frac{5y}{2}+65 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x+3y=218.

$$4\left(-\frac{5}{2}y+65\right)+3y=218$$

Margfaldaðu 4 sinnum -\frac{5y}{2}+65.

$$-10y+260+3y=218$$

Leggðu -10y saman við 3y.

$$-7y+260=218$$

Dragðu 260 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-7y=-42$$

Deildu báðum hliðum með -7.

$$y=6$$

Skiptu 6 út fyrir y í x=-\frac{5}{2}y+65. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{5}{2}\times 6+65$$

Margfaldaðu -\frac{5}{2} sinnum 6.

$$x=-15+65$$

Leggðu 65 saman við -15.

$$x=50$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=50,y=6$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+5y=130,4x+3y=218$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}130\\218\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&5\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\218\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\218\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\218\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-5\times 4}&-\frac{5}{2\times 3-5\times 4}\\-\frac{4}{2\times 3-5\times 4}&\frac{2}{2\times 3-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\218\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{14}&\frac{5}{14}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\218\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{14}\times 130+\frac{5}{14}\times 218\\\frac{2}{7}\times 130-\frac{1}{7}\times 218\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\6\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=50,y=6$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+5y=130,4x+3y=218$$

Til að gera 2x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$4\times 2x+4\times 5y=4\times 130,2\times 4x+2\times 3y=2\times 218$$

Einfaldaðu.

$$8x+20y=520,8x+6y=436$$

Dragðu 8x+6y=436 frá 8x+20y=520 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$8x-8x+20y-6y=520-436$$

Leggðu 8x saman við -8x. Liðirnir 8x og -8x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$20y-6y=520-436$$

Leggðu 20y saman við -6y.

$$14y=520-436$$

Leggðu 520 saman við -436.

$$14y=84$$

Deildu báðum hliðum með 14.

$$y=6$$

Skiptu 6 út fyrir y í 4x+3y=218. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x+3\times 6=218$$

Margfaldaðu 3 sinnum 6.

$$4x+18=218$$

Dragðu 18 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=200$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=50$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=50,y=6$$