Leysa {l}{2x+5y=-10}{y=-7/5x+3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = - 10 } \\ { y = - \frac { 7 } { 5 } x + 3 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=5$$

$$y=-4$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu \frac{7}{5}x við báðar hliðar.

$$y+\frac{7}{5}x=3$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+5y=-10,\frac{7}{5}x+y=3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+5y=-10$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-5y-10$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y-10\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -5y-10.

$$x=-\frac{5}{2}y-5$$

Settu -\frac{5y}{2}-5 inn fyrir x í hinni jöfnunni, \frac{7}{5}x+y=3.

$$\frac{7}{5}\left(-\frac{5}{2}y-5\right)+y=3$$

Margfaldaðu \frac{7}{5} sinnum -\frac{5y}{2}-5.

$$-\frac{7}{2}y-7+y=3$$

Leggðu -\frac{7y}{2} saman við y.

$$-\frac{5}{2}y-7=3$$

Leggðu 7 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-\frac{5}{2}y=10$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{5}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-4$$

Skiptu -4 út fyrir y í x=-\frac{5}{2}y-5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{5}{2}\left(-4\right)-5$$

Margfaldaðu -\frac{5}{2} sinnum -4.

$$x=10-5$$

Leggðu -5 saman við 10.

$$x=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=5,y=-4$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu \frac{7}{5}x við báðar hliðar.

$$y+\frac{7}{5}x=3$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+5y=-10,\frac{7}{5}x+y=3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-5\times \frac{7}{5}}&-\frac{5}{2-5\times \frac{7}{5}}\\-\frac{\frac{7}{5}}{2-5\times \frac{7}{5}}&\frac{2}{2-5\times \frac{7}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&1\\\frac{7}{25}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\left(-10\right)+3\\\frac{7}{25}\left(-10\right)-\frac{2}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=5,y=-4$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu \frac{7}{5}x við báðar hliðar.

$$y+\frac{7}{5}x=3$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+5y=-10,\frac{7}{5}x+y=3$$

Til að gera 2x og \frac{7x}{5} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með \frac{7}{5} og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$\frac{7}{5}\times 2x+\frac{7}{5}\times 5y=\frac{7}{5}\left(-10\right),2\times \frac{7}{5}x+2y=2\times 3$$

Einfaldaðu.

$$\frac{14}{5}x+7y=-14,\frac{14}{5}x+2y=6$$

Dragðu \frac{14}{5}x+2y=6 frá \frac{14}{5}x+7y=-14 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$\frac{14}{5}x-\frac{14}{5}x+7y-2y=-14-6$$

Leggðu \frac{14x}{5} saman við -\frac{14x}{5}. Liðirnir \frac{14x}{5} og -\frac{14x}{5} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$7y-2y=-14-6$$

Leggðu 7y saman við -2y.

$$5y=-14-6$$

Leggðu -14 saman við -6.

$$5y=-20$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$y=-4$$

Skiptu -4 út fyrir y í \frac{7}{5}x+y=3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$\frac{7}{5}x-4=3$$

Leggðu 4 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{7}{5}x=7$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{7}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=5,y=-4$$