Leysa {l}{2x+4y=8}{3y-2x=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 8 } \\ { 3 y - 2 x = 6 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=0$$

$$y=2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+4y=8,-2x+3y=6$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+4y=8$$

Dragðu 4y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-4y+8$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+8\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -4y+8.

$$x=-2y+4$$

Settu -2y+4 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -2x+3y=6.

$$-2\left(-2y+4\right)+3y=6$$

Margfaldaðu -2 sinnum -2y+4.

$$4y-8+3y=6$$

Leggðu 4y saman við 3y.

$$7y-8=6$$

Leggðu 8 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$7y=14$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í x=-2y+4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-2\times 2+4$$

Margfaldaðu -2 sinnum 2.

$$x=-4+4$$

Leggðu 4 saman við -4.

$$x=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=0,y=2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+4y=8,-2x+3y=6$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&4\\-2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-4\left(-2\right)}&-\frac{4}{2\times 3-4\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\times 3-4\left(-2\right)}&\frac{2}{2\times 3-4\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}&-\frac{2}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}\times 8-\frac{2}{7}\times 6\\\frac{1}{7}\times 8+\frac{1}{7}\times 6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=0,y=2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+4y=8,-2x+3y=6$$

Til að gera 2x og -2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$-2\times 2x-2\times 4y=-2\times 8,2\left(-2\right)x+2\times 3y=2\times 6$$

Einfaldaðu.

$$-4x-8y=-16,-4x+6y=12$$

Dragðu -4x+6y=12 frá -4x-8y=-16 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-4x+4x-8y-6y=-16-12$$

Leggðu -4x saman við 4x. Liðirnir -4x og 4x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-8y-6y=-16-12$$

Leggðu -8y saman við -6y.

$$-14y=-16-12$$

Leggðu -16 saman við -12.

$$-14y=-28$$

Deildu báðum hliðum með -14.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í -2x+3y=6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-2x+3\times 2=6$$

Margfaldaðu 3 sinnum 2.

$$-2x+6=6$$

Dragðu 6 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-2x=0$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$x=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=0,y=2$$