Leysa {l}{2x+4y=12}{3x+y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 12 } \\ { 3 x + y = 6 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} = 1.2$$

$$y = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5} = 2.4$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+4y=12,3x+y=6$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+4y=12$$

Dragðu 4y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-4y+12$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+12\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -4y+12.

$$x=-2y+6$$

Settu -2y+6 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+y=6.

$$3\left(-2y+6\right)+y=6$$

Margfaldaðu 3 sinnum -2y+6.

$$-6y+18+y=6$$

Leggðu -6y saman við y.

$$-5y+18=6$$

Dragðu 18 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-5y=-12$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$y=\frac{12}{5}$$

Skiptu \frac{12}{5} út fyrir y í x=-2y+6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-2\times \frac{12}{5}+6$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{12}{5}.

$$x=-\frac{24}{5}+6$$

Leggðu 6 saman við -\frac{24}{5}.

$$x=\frac{6}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{12}{5}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+4y=12,3x+y=6$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&4\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-4\times 3}&-\frac{4}{2-4\times 3}\\-\frac{3}{2-4\times 3}&\frac{2}{2-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{2}{5}\\\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 12+\frac{2}{5}\times 6\\\frac{3}{10}\times 12-\frac{1}{5}\times 6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\\\frac{12}{5}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{12}{5}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+4y=12,3x+y=6$$

Til að gera 2x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$3\times 2x+3\times 4y=3\times 12,2\times 3x+2y=2\times 6$$

Einfaldaðu.

$$6x+12y=36,6x+2y=12$$

Dragðu 6x+2y=12 frá 6x+12y=36 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x+12y-2y=36-12$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$12y-2y=36-12$$

Leggðu 12y saman við -2y.

$$10y=36-12$$

Leggðu 36 saman við -12.

$$10y=24$$

Deildu báðum hliðum með 10.

$$y=\frac{12}{5}$$

Skiptu \frac{12}{5} út fyrir y í 3x+y=6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+\frac{12}{5}=6$$

Dragðu \frac{12}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=\frac{18}{5}$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{6}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{12}{5}$$