Leysa {l}{2x+3y=8}{9x+4y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 8 } \\ { 9 x + 4 y = 14 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{10}{19}\approx 0.526315789$$

$$y = \frac{44}{19} = 2\frac{6}{19} \approx 2.315789474$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+3y=8,9x+4y=14$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+3y=8$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-3y+8$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+8\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -3y+8.

$$x=-\frac{3}{2}y+4$$

Settu -\frac{3y}{2}+4 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 9x+4y=14.

$$9\left(-\frac{3}{2}y+4\right)+4y=14$$

Margfaldaðu 9 sinnum -\frac{3y}{2}+4.

$$-\frac{27}{2}y+36+4y=14$$

Leggðu -\frac{27y}{2} saman við 4y.

$$-\frac{19}{2}y+36=14$$

Dragðu 36 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{19}{2}y=-22$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{19}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{44}{19}$$

Skiptu \frac{44}{19} út fyrir y í x=-\frac{3}{2}y+4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{44}{19}+4$$

Margfaldaðu -\frac{3}{2} sinnum \frac{44}{19} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{66}{19}+4$$

Leggðu 4 saman við -\frac{66}{19}.

$$x=\frac{10}{19}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{10}{19},y=\frac{44}{19}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+3y=8,9x+4y=14$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\9&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&3\\9&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\9&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\9&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\9&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\9&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\9&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-3\times 9}&-\frac{3}{2\times 4-3\times 9}\\-\frac{9}{2\times 4-3\times 9}&\frac{2}{2\times 4-3\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{19}&\frac{3}{19}\\\frac{9}{19}&-\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{19}\times 8+\frac{3}{19}\times 14\\\frac{9}{19}\times 8-\frac{2}{19}\times 14\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{19}\\\frac{44}{19}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{10}{19},y=\frac{44}{19}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+3y=8,9x+4y=14$$

Til að gera 2x og 9x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 9 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$9\times 2x+9\times 3y=9\times 8,2\times 9x+2\times 4y=2\times 14$$

Einfaldaðu.

$$18x+27y=72,18x+8y=28$$

Dragðu 18x+8y=28 frá 18x+27y=72 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$18x-18x+27y-8y=72-28$$

Leggðu 18x saman við -18x. Liðirnir 18x og -18x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$27y-8y=72-28$$

Leggðu 27y saman við -8y.

$$19y=72-28$$

Leggðu 72 saman við -28.

$$19y=44$$

Deildu báðum hliðum með 19.

$$y=\frac{44}{19}$$

Skiptu \frac{44}{19} út fyrir y í 9x+4y=14. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$9x+4\times \frac{44}{19}=14$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{44}{19}.

$$9x+\frac{176}{19}=14$$

Dragðu \frac{176}{19} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$9x=\frac{90}{19}$$

Deildu báðum hliðum með 9.

$$x=\frac{10}{19}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{10}{19},y=\frac{44}{19}$$