Leysa {l}{2x+3y=8}{6x-3y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 8 } \\ { 6 x - 3 y = 10 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2.25$$

$$y = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \approx 1.166666667$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+3y=8,6x-3y=10$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+3y=8$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-3y+8$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+8\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -3y+8.

$$x=-\frac{3}{2}y+4$$

Settu -\frac{3y}{2}+4 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 6x-3y=10.

$$6\left(-\frac{3}{2}y+4\right)-3y=10$$

Margfaldaðu 6 sinnum -\frac{3y}{2}+4.

$$-9y+24-3y=10$$

Leggðu -9y saman við -3y.

$$-12y+24=10$$

Dragðu 24 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-12y=-14$$

Deildu báðum hliðum með -12.

$$y=\frac{7}{6}$$

Skiptu \frac{7}{6} út fyrir y í x=-\frac{3}{2}y+4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{7}{6}+4$$

Margfaldaðu -\frac{3}{2} sinnum \frac{7}{6} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{7}{4}+4$$

Leggðu 4 saman við -\frac{7}{4}.

$$x=\frac{9}{4}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{9}{4},y=\frac{7}{6}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+3y=8,6x-3y=10$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-3\times 6}&-\frac{3}{2\left(-3\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{2\left(-3\right)-3\times 6}&\frac{2}{2\left(-3\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 8+\frac{1}{8}\times 10\\\frac{1}{4}\times 8-\frac{1}{12}\times 10\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\\\frac{7}{6}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{9}{4},y=\frac{7}{6}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+3y=8,6x-3y=10$$

Til að gera 2x og 6x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 6 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$6\times 2x+6\times 3y=6\times 8,2\times 6x+2\left(-3\right)y=2\times 10$$

Einfaldaðu.

$$12x+18y=48,12x-6y=20$$

Dragðu 12x-6y=20 frá 12x+18y=48 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$12x-12x+18y+6y=48-20$$

Leggðu 12x saman við -12x. Liðirnir 12x og -12x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$18y+6y=48-20$$

Leggðu 18y saman við 6y.

$$24y=48-20$$

Leggðu 48 saman við -20.

$$24y=28$$

Deildu báðum hliðum með 24.

$$y=\frac{7}{6}$$

Skiptu \frac{7}{6} út fyrir y í 6x-3y=10. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$6x-3\times \frac{7}{6}=10$$

Margfaldaðu -3 sinnum \frac{7}{6}.

$$6x-\frac{7}{2}=10$$

Leggðu \frac{7}{2} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$6x=\frac{27}{2}$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=\frac{9}{4}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{9}{4},y=\frac{7}{6}$$