Leysa {l}{2x+3y=7}{5x+2y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 7 } \\ { 5 x + 2 y = 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-1$$

$$y=3$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+3y=7,5x+2y=1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+3y=7$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-3y+7$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+7\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -3y+7.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{7}{2}$$

Settu \frac{-3y+7}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 5x+2y=1.

$$5\left(-\frac{3}{2}y+\frac{7}{2}\right)+2y=1$$

Margfaldaðu 5 sinnum \frac{-3y+7}{2}.

$$-\frac{15}{2}y+\frac{35}{2}+2y=1$$

Leggðu -\frac{15y}{2} saman við 2y.

$$-\frac{11}{2}y+\frac{35}{2}=1$$

Dragðu \frac{35}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{11}{2}y=-\frac{33}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{11}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í x=-\frac{3}{2}y+\frac{7}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{2}\times 3+\frac{7}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{3}{2} sinnum 3.

$$x=\frac{-9+7}{2}$$

Leggðu \frac{7}{2} saman við -\frac{9}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-1,y=3$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+3y=7,5x+2y=1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&3\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3\times 5}&-\frac{3}{2\times 2-3\times 5}\\-\frac{5}{2\times 2-3\times 5}&\frac{2}{2\times 2-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}&\frac{3}{11}\\\frac{5}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}\times 7+\frac{3}{11}\\\frac{5}{11}\times 7-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-1,y=3$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+3y=7,5x+2y=1$$

Til að gera 2x og 5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$5\times 2x+5\times 3y=5\times 7,2\times 5x+2\times 2y=2$$

Einfaldaðu.

$$10x+15y=35,10x+4y=2$$

Dragðu 10x+4y=2 frá 10x+15y=35 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$10x-10x+15y-4y=35-2$$

Leggðu 10x saman við -10x. Liðirnir 10x og -10x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$15y-4y=35-2$$

Leggðu 15y saman við -4y.

$$11y=35-2$$

Leggðu 35 saman við -2.

$$11y=33$$

Deildu báðum hliðum með 11.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í 5x+2y=1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$5x+2\times 3=1$$

Margfaldaðu 2 sinnum 3.

$$5x+6=1$$

Dragðu 6 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=-5$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-1,y=3$$