Leysa {l}{2x+3y=6}{6x+5y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 6 } \\ { 6 x + 5 y = 9 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-\frac{3}{8}=-0.375$$

$$y = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2.25$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+3y=6,6x+5y=9$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+3y=6$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-3y+6$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+6\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -3y+6.

$$x=-\frac{3}{2}y+3$$

Settu -\frac{3y}{2}+3 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 6x+5y=9.

$$6\left(-\frac{3}{2}y+3\right)+5y=9$$

Margfaldaðu 6 sinnum -\frac{3y}{2}+3.

$$-9y+18+5y=9$$

Leggðu -9y saman við 5y.

$$-4y+18=9$$

Dragðu 18 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-4y=-9$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$y=\frac{9}{4}$$

Skiptu \frac{9}{4} út fyrir y í x=-\frac{3}{2}y+3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{9}{4}+3$$

Margfaldaðu -\frac{3}{2} sinnum \frac{9}{4} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{27}{8}+3$$

Leggðu 3 saman við -\frac{27}{8}.

$$x=-\frac{3}{8}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{3}{8},y=\frac{9}{4}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+3y=6,6x+5y=9$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\6&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&3\\6&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\6&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3\times 6}&-\frac{3}{2\times 5-3\times 6}\\-\frac{6}{2\times 5-3\times 6}&\frac{2}{2\times 5-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8}&\frac{3}{8}\\\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8}\times 6+\frac{3}{8}\times 9\\\frac{3}{4}\times 6-\frac{1}{4}\times 9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{8}\\\frac{9}{4}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{3}{8},y=\frac{9}{4}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+3y=6,6x+5y=9$$

Til að gera 2x og 6x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 6 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$6\times 2x+6\times 3y=6\times 6,2\times 6x+2\times 5y=2\times 9$$

Einfaldaðu.

$$12x+18y=36,12x+10y=18$$

Dragðu 12x+10y=18 frá 12x+18y=36 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$12x-12x+18y-10y=36-18$$

Leggðu 12x saman við -12x. Liðirnir 12x og -12x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$18y-10y=36-18$$

Leggðu 18y saman við -10y.

$$8y=36-18$$

Leggðu 36 saman við -18.

$$8y=18$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$y=\frac{9}{4}$$

Skiptu \frac{9}{4} út fyrir y í 6x+5y=9. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$6x+5\times \frac{9}{4}=9$$

Margfaldaðu 5 sinnum \frac{9}{4}.

$$6x+\frac{45}{4}=9$$

Dragðu \frac{45}{4} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$6x=-\frac{9}{4}$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=-\frac{3}{8}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{3}{8},y=\frac{9}{4}$$