Leysa {l}{2x+3y=5}{7x=6-y}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 5 } \\ { 7 x = 6 - y } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{13}{19}\approx 0.684210526$$

$$y = \frac{23}{19} = 1\frac{4}{19} \approx 1.210526316$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu y við báðar hliðar.

$$7x+y=6$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+3y=5,7x+y=6$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+3y=5$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-3y+5$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+5\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -3y+5.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

Settu \frac{-3y+5}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 7x+y=6.

$$7\left(-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)+y=6$$

Margfaldaðu 7 sinnum \frac{-3y+5}{2}.

$$-\frac{21}{2}y+\frac{35}{2}+y=6$$

Leggðu -\frac{21y}{2} saman við y.

$$-\frac{19}{2}y+\frac{35}{2}=6$$

Dragðu \frac{35}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{19}{2}y=-\frac{23}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{19}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{23}{19}$$

Skiptu \frac{23}{19} út fyrir y í x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{23}{19}+\frac{5}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{3}{2} sinnum \frac{23}{19} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{69}{38}+\frac{5}{2}$$

Leggðu \frac{5}{2} saman við -\frac{69}{38} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{13}{19}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{13}{19},y=\frac{23}{19}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu y við báðar hliðar.

$$7x+y=6$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+3y=5,7x+y=6$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&3\\7&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\times 7}&-\frac{3}{2-3\times 7}\\-\frac{7}{2-3\times 7}&\frac{2}{2-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}&\frac{3}{19}\\\frac{7}{19}&-\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}\times 5+\frac{3}{19}\times 6\\\frac{7}{19}\times 5-\frac{2}{19}\times 6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{19}\\\frac{23}{19}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{13}{19},y=\frac{23}{19}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu y við báðar hliðar.

$$7x+y=6$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+3y=5,7x+y=6$$

Til að gera 2x og 7x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 7 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$7\times 2x+7\times 3y=7\times 5,2\times 7x+2y=2\times 6$$

Einfaldaðu.

$$14x+21y=35,14x+2y=12$$

Dragðu 14x+2y=12 frá 14x+21y=35 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$14x-14x+21y-2y=35-12$$

Leggðu 14x saman við -14x. Liðirnir 14x og -14x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$21y-2y=35-12$$

Leggðu 21y saman við -2y.

$$19y=35-12$$

Leggðu 35 saman við -12.

$$19y=23$$

Deildu báðum hliðum með 19.

$$y=\frac{23}{19}$$

Skiptu \frac{23}{19} út fyrir y í 7x+y=6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$7x+\frac{23}{19}=6$$

Dragðu \frac{23}{19} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$7x=\frac{91}{19}$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$x=\frac{13}{19}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{13}{19},y=\frac{23}{19}$$