Leysa {l}{2x+3y=5}{7x=4y-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 5 } \\ { 7 x = 4 y - 3 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{11}{29}\approx 0.379310345$$

$$y = \frac{41}{29} = 1\frac{12}{29} \approx 1.413793103$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 4y frá báðum hliðum.

$$7x-4y=-3$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+3y=5,7x-4y=-3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+3y=5$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-3y+5$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+5\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -3y+5.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

Settu \frac{-3y+5}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 7x-4y=-3.

$$7\left(-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)-4y=-3$$

Margfaldaðu 7 sinnum \frac{-3y+5}{2}.

$$-\frac{21}{2}y+\frac{35}{2}-4y=-3$$

Leggðu -\frac{21y}{2} saman við -4y.

$$-\frac{29}{2}y+\frac{35}{2}=-3$$

Dragðu \frac{35}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{29}{2}y=-\frac{41}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{29}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{41}{29}$$

Skiptu \frac{41}{29} út fyrir y í x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{41}{29}+\frac{5}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{3}{2} sinnum \frac{41}{29} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{123}{58}+\frac{5}{2}$$

Leggðu \frac{5}{2} saman við -\frac{123}{58} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{11}{29}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{11}{29},y=\frac{41}{29}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 4y frá báðum hliðum.

$$7x-4y=-3$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+3y=5,7x-4y=-3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 7}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 7}\\-\frac{7}{2\left(-4\right)-3\times 7}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{29}&\frac{3}{29}\\\frac{7}{29}&-\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{29}\times 5+\frac{3}{29}\left(-3\right)\\\frac{7}{29}\times 5-\frac{2}{29}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{29}\\\frac{41}{29}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{11}{29},y=\frac{41}{29}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 4y frá báðum hliðum.

$$7x-4y=-3$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+3y=5,7x-4y=-3$$

Til að gera 2x og 7x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 7 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$7\times 2x+7\times 3y=7\times 5,2\times 7x+2\left(-4\right)y=2\left(-3\right)$$

Einfaldaðu.

$$14x+21y=35,14x-8y=-6$$

Dragðu 14x-8y=-6 frá 14x+21y=35 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$14x-14x+21y+8y=35+6$$

Leggðu 14x saman við -14x. Liðirnir 14x og -14x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$21y+8y=35+6$$

Leggðu 21y saman við 8y.

$$29y=35+6$$

Leggðu 35 saman við 6.

$$29y=41$$

Deildu báðum hliðum með 29.

$$y=\frac{41}{29}$$

Skiptu \frac{41}{29} út fyrir y í 7x-4y=-3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$7x-4\times \frac{41}{29}=-3$$

Margfaldaðu -4 sinnum \frac{41}{29}.

$$7x-\frac{164}{29}=-3$$

Leggðu \frac{164}{29} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$7x=\frac{77}{29}$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$x=\frac{11}{29}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{11}{29},y=\frac{41}{29}$$