Leysa {l}{2x+3y=5}{3x+2y=76}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 76 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{218}{5} = 43\frac{3}{5} = 43.6$$

$$y = -\frac{137}{5} = -27\frac{2}{5} = -27.4$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+3y=5,3x+2y=76$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+3y=5$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-3y+5$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+5\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -3y+5.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

Settu \frac{-3y+5}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+2y=76.

$$3\left(-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)+2y=76$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{-3y+5}{2}.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{15}{2}+2y=76$$

Leggðu -\frac{9y}{2} saman við 2y.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}=76$$

Dragðu \frac{15}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{5}{2}y=\frac{137}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{5}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{137}{5}$$

Skiptu -\frac{137}{5} út fyrir y í x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-\frac{137}{5}\right)+\frac{5}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{3}{2} sinnum -\frac{137}{5} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{411}{10}+\frac{5}{2}$$

Leggðu \frac{5}{2} saman við \frac{411}{10} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{218}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{218}{5},y=-\frac{137}{5}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+3y=5,3x+2y=76$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\76\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\76\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\76\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\76\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{2\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{2\times 2-3\times 3}&\frac{2}{2\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\76\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\76\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 5+\frac{3}{5}\times 76\\\frac{3}{5}\times 5-\frac{2}{5}\times 76\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{218}{5}\\-\frac{137}{5}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{218}{5},y=-\frac{137}{5}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+3y=5,3x+2y=76$$

Til að gera 2x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 5,2\times 3x+2\times 2y=2\times 76$$

Einfaldaðu.

$$6x+9y=15,6x+4y=152$$

Dragðu 6x+4y=152 frá 6x+9y=15 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x+9y-4y=15-152$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$9y-4y=15-152$$

Leggðu 9y saman við -4y.

$$5y=15-152$$

Leggðu 15 saman við -152.

$$5y=-137$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$y=-\frac{137}{5}$$

Skiptu -\frac{137}{5} út fyrir y í 3x+2y=76. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+2\left(-\frac{137}{5}\right)=76$$

Margfaldaðu 2 sinnum -\frac{137}{5}.

$$3x-\frac{274}{5}=76$$

Leggðu \frac{274}{5} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=\frac{654}{5}$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{218}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{218}{5},y=-\frac{137}{5}$$