Leysa {l}{2x+3y=2}{5y+2x=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 2 } \\ { 5 y + 2 x = 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4} = 1.75$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+3y=2,2x+5y=1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+3y=2$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-3y+2$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+2\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -3y+2.

$$x=-\frac{3}{2}y+1$$

Settu -\frac{3y}{2}+1 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+5y=1.

$$2\left(-\frac{3}{2}y+1\right)+5y=1$$

Margfaldaðu 2 sinnum -\frac{3y}{2}+1.

$$-3y+2+5y=1$$

Leggðu -3y saman við 5y.

$$2y+2=1$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2y=-1$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Skiptu -\frac{1}{2} út fyrir y í x=-\frac{3}{2}y+1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)+1$$

Margfaldaðu -\frac{3}{2} sinnum -\frac{1}{2} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{3}{4}+1$$

Leggðu 1 saman við \frac{3}{4}.

$$x=\frac{7}{4}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{7}{4},y=-\frac{1}{2}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+3y=2,2x+5y=1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3\times 2}&-\frac{3}{2\times 5-3\times 2}\\-\frac{2}{2\times 5-3\times 2}&\frac{2}{2\times 5-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}\times 2-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{2}\times 2+\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{4}\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{7}{4},y=-\frac{1}{2}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+3y=2,2x+5y=1$$

Dragðu 2x+5y=1 frá 2x+3y=2 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-2x+3y-5y=2-1$$

Leggðu 2x saman við -2x. Liðirnir 2x og -2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$3y-5y=2-1$$

Leggðu 3y saman við -5y.

$$-2y=2-1$$

Leggðu 2 saman við -1.

$$-2y=1$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Skiptu -\frac{1}{2} út fyrir y í 2x+5y=1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x+5\left(-\frac{1}{2}\right)=1$$

Margfaldaðu 5 sinnum -\frac{1}{2}.

$$2x-\frac{5}{2}=1$$

Leggðu \frac{5}{2} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=\frac{7}{2}$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{7}{4}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{7}{4},y=-\frac{1}{2}$$